Examen de Matemáticas II UB 2020 · 1a Prova d'Avaluació de Matemàtiques II (Novembre 2020)

Exercici 1 (2 punts). Equacions còniques i quàdriques

Responeu a les següents qüestions de geometria:

a.

Indiqueu l'expressió canònica (equació reduïda) corresponent a una el·lipse que presenta semieixos de longituds $a = 3$ i $b = 5$.

b.

Formuleu l'equació explícita reduïda de caràcter genèric que descriu un paraboloide hiperbòlic.

Exercici 2 (2 punts). Forma explícita i unicitat de la funció

Es considera l'equació definida de forma implícita per:

$$x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 4y - 2z - 11 = 0$$

Calculeu la seva forma explícita per a la variable $z$ i justifiqueu de manera raonada si es tracta d'una funció uniforme o multiforme.

Exercici 3 (2 punts). Estudi de domini i recorregut d'una funció bivariable

Considereu la funció de dues variables definida per:

$$z = f(x, y) = \pm \sqrt{36 - (x - 2)^2 - y^2}$$

Es demana:

a.

Trobar el seu domini de definició, representar-lo geomètricament i descriure les seves propietats topològiques de forma raonada.

b.

Determinar raonadament el conjunt imatge o recorregut de la funció.

Exercici 4 (2 punts). Corbes de nivell

Trobeu les corbes de nivell de les següents superfícies per a les altures especificades. Indiqueu clarament de quin tipus de corba cònica es tracta en cada cas i descriviu la seva representació gràfica:

a.

$z = x^2 + 4y^2$ a la cota $z = 16$.

b.

$z = x^2 - 4x + y^2 - 6y$ a la cota $z = 3$.

Exercici 5 (2 punts). Càlcul i avaluació de derivades parcials

Per a la funció definida per:$$z = (x^2 + 2x + 3y + 4) \cdot e^{2xy}$$Calculeu les seves derivades parcials primeres respecte a $x$ i a $y$, i avalueu-ne el valor exacte en el punt $P(1,0)$.

1.

2.