Examen de Matemáticas II UB 2020 · 2a Prova de Seguiment de Matemàtiques II (18 de desembre de 2020)

Pregunta 1. Matriu jacobiana i determinació de paràmetres mitjançant hessià

a.

Considereu la funció vectorial $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ expressada com:$$f(x, y) = (e^{xy}\sin(y),\, e^{xy}\cos(y))$$Determineu la matriu jacobiana $J(f)$ associada i el determinant jacobià $|J|$, simplificant l'expressió al màxim recordant que $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

b.

Es defineix el camp escalar:$$z = f(x, y) = ax^3 + by^2 + 5cx - 6xy$$Trobeu els coeficients reals $a$, $b$ i $c$ de tal manera que en el punt $P(1,1)$ la matriu jacobiana compleixi $J|_P = (-15\,\; 2)$ i el determinant de la matriu hessiana sigui $|H|_P = 60$.

Pregunta 2. Derivades direccionals i creixement de la funció

Sigui la funció de dues variables independents:$$z = f(x, y) = 2\sqrt{8x - 3y} + \frac{x - 2y}{x + 2y}$$Determineu si la funció és creixent o decreixent en el punt $P(9, -3)$ avaluant la derivada direccional en cadascuna de les direccions següents:

a.

En la direcció marcada pel vector $\vec{v} = \vec{PQ}$, essent $Q(10, -4)$.

Creixent

Decreixent

b.

En la direcció que forma un angle $\alpha = 60^\circ$ respecte al semieix positiu de les $X$.

Creixent

Decreixent

Pregunta 3. Diferencial de primer ordre i estimació d'errors

Es considera la funció de tres variables:$$u = f(x, y, z) = \ln\left(\frac{x^2 - y^2}{z}\right)$$

a)

Calculeu el valor del diferencial de primer ordre $du$ en el punt $P(3,2,1)$ quan els increments de les variables són $dx = 0{,}2$, $dy = 0{,}3$ i $dz = -0{,}1$.

b)

Calculeu la variació real $\Delta u$ de la funció en aquestes mateixes condicions i determineu l'error absolut i l'error relatiu comesos en aproximar $\Delta u$ pel diferencial $du$.

Pregunta 4. Matriu hessiana i diferencial de segon ordre

Donada la funció de tres variables independents:$$u = f(x, y, z) = 3y^2 z + \frac{z e^{-2x}}{y}$$

a)

Determineu la matriu hessiana $H$ de la funció en el punt $P(0, -1, 3)$.

b)

Calculeu el diferencial de segon ordre $d^2u$ en el punt $P(0, -1, 3)$ considerant els diferencials de les variables $dx = -0{,}5$, $dy = 0{,}4$ i $dz = -0{,}3$.