Examen de Matemáticas II UB 2020 · : 1a Prova de Seguiment (Novembre 2020)

Exercici 1 (2 punts). Classificació de funcions i estudi d'una superfície

a)

Per a cadascuna de les dues funcions presentades a continuació:

$$z = f(x, y) = 8x^2y^2 + 2xy^2 - 5y$$

$$g(t) = (u, v) = (5\sin(t), 1 + 3\sqrt{t})$$

Indiqueu de manera justificada el nombre de variables independents i dependents, la tipologia de funció i la denominació de la seva representació gràfica:

b)

Es considera la superfície definida per l'equació:

$$f(x, y, z): x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 4z - 7 = 0$$

Determineu raonadament si la funció ve donada de manera explícita o implícita, reescriviu l'expressió completant quadrats per tal d'obtenir la seva forma canònica identificant la superfície, i finalment aïlleu $z$ per justificar si és uniforme o multiforme:

Exercici 2 (4 punts). Dominis, recorreguts i anàlisi topològica

Considereu les dues funcions de dues variables independents següents:

$$z = f(x,y) = 3 - \sqrt{64 - x^2 - 4y^2} \quad \text{i} \quad z = g(x,y) = \log(4x^2 - y^2 - 4)$$

Per a cadascuna d'elles:

Funció $f(x,y) = 3 - \sqrt{64 - x^2 - 4y^2}$

a.

Trobeu el seu domini de definició de forma analítica.

b.

Representeu gràficament el domini en el pla cartesià en eixos independents.

c.

Justifiqueu detalladament les característiques topològiques del domini (obert/tancat, acotat/no acotat, compacte/no compacte i convex/no convex).

d.

Calculeu i determineu raonadament el recorregut o conjunt imatge corresponent.

Funció $g(x,y) = \log(4x^2 - y^2 - 4)$

a.

Trobeu el seu domini de definició de forma analítica.

b.

Representeu gràficament el domini en el pla cartesià en eixos independents (per a $g(x,y)$ teniu com a referència la gràfica següent):

c.

Justifiqueu detalladament les característiques topològiques del domini (obert/tancat, acotat/no acotat, compacte/no compacte i convex/no convex).

d.

Calculeu i determineu raonadament el recorregut o conjunt imatge corresponent.

Exercici 3 (2 punts). Determinació d'una corba de nivell

Es considera la funció de dues variables independents:

$$z = f(x, y) = 4 + \sqrt{12 - x^2 - y^2 + 6x + 4y}$$

Calculeu analíticament l'equació de la corba de nivell corresponent a l'alçada $z = 1$. Identifiqueu la figura geomètrica de la qual es tracta, indicant-ne els seus elements característics, i representeu-la gràficament sobre el pla cartesià (es pot prendre com a referència el gràfic següent):

a)

b)

c)

(,)

d)

e)

Exercici 4 (2 punts). Derivades parcials primeres i avaluació puntual

Per a cadascuna de les següents funcions multivariable, calculeu les expressions simplificades de les seves respectives derivades parcials de primer ordre i avalueu-les posteriorment en el punt que s'indica:

a.

$$f(x, y) = \sin(5xy) - e^{2x^2 y} + 4x^2 - 8y \quad \text{en el punt } P(0, 1)$$

b.

$$g(x, y) = \sqrt{2x^2 + 3y^2 - 6xy} \quad \text{en el punt } Q(1, 2)$$