Examen de Matemàtiques I UB 2024 · final ordinari - 15 de gener de 2024

Pregunta 1 (1 punt). Dependència lineal de vectors amb paràmetre

Sigui el conjunt de vectors {$(1, 2, -1, 3)$, $(3, 0, m, 4)$, $(m, -m, 3, 1)$} amb $m \in \mathbb{R}$. Aquest conjunt és linealment dependent:

Pregunta 2 (1 punt). Sistema de generadors i bases a R3

Donats tres vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ de l'espai vectorial $\mathbb{R}^3$ tals que el conjunt {$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{u} + \vec{v}$} constitueix un sistema de generadors de $\mathbb{R}^3$, aleshores:

Pregunta 3 (1 punt). Base de R3 amb paràmetre

El conjunt de vectors {$(k + 1, 5, 4)$, $(1, -1, k + 1)$, $(1, 6, k + 1)$}, amb $k \in \mathbb{R}$, és una base de $\mathbb{R}^3$:

Pregunta 4 (1 punt). Propietats de vectors a R3

Donats els vectors $\vec{u} = (4, -2, 1)$, $\vec{v} = (2, 2, 1)$ i $\vec{w} = (-3, -6, 0)$ de $\mathbb{R}^3$, és FALS que:

Pregunta 5 (1 punt). Subespai vectorial generat amb paràmetre

L'expressió conjuntista del subespai vectorial generat pels vectors $(1, 0, 1)$ i $(-1, a, 2)$, amb $a \in \mathbb{R}$, és $S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid -x - 3y + z = 0\}$:

Pregunta 6 (1 punt). Propietats de la norma vectorial

Donats dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ linealment independents de l'espai vectorial $\mathbb{R}^n$ amb $\|\vec{u}\| = 3$ i $\|\vec{v}\| = 4$, quina de les següents afirmacions és FALSA ?

Pregunta 7 (1 punt). Topologia de conjunts a R2

Donat el conjunt $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1, y \ge x^2\}$:

Pregunta 8 (1 punt). Classificació d'una forma quadràtica

La forma quadràtica $f(x, y, z) = (x + y)^2 + (x + z)^2 - (y + z)^2$ és:

.

Pregunta 9 (1 punt). Forma quadràtica restringida a un subespai

El signe de la forma quadràtica $f(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 2xy - 4yz$, restringida pel subespai $S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - 4z = 0\}$ és:

Pregunta 10 (1 punt). Corba de nivell d'una funció de dues variables

La corba de nivell 0 de la funció $f(x, y) = \frac{y+3x}{y^2+2x^2+1}$:

Pregunta 11 (1 punt). Derivada direccional

La derivada direccional de la funció $f(x, y) = (2x - y)^{26}$ en el punt $(2, 3)$ en la direcció del vector $(5, 12)$ és:

Pregunta 12 (1 punt). Anàlisi marginal de la funció de costos

Sigui $C(x, y)$ la funció de costos de fabricació de $x$ unitats de A i de $y$ unitats de B. Si el cost de produir 89 unitats de A i 84 unitats de B és igual a 3215 u.m., i el vector gradient de la funció de costos en aquest nivell de producció és $\nabla C(89, 84) = (6, 4)$, aleshores, utilitzant l'anàlisi marginal:

Pregunta 13 (1 punt). Derivada elàstica d'una funció de tres variables

El valor de la derivada elàstica respecte a la variable $y$ de la funció $f(x, y, z) = x^2y + y^2z$ en el punt $(2, 3, 5)$ és:

Pregunta 14 (1 punt). Equació del pla tangent

L'equació del pla tangent a la funció $f(x, y) = xy^3$ en el punt $(3, 2)$ és:

Pregunta 15 (1 punt). Derivació implícita

L'equació $10xy + 2y^2 - 6x^2 + 14 = 0$ defineix implícitament $y = y(x)$ al voltant del punt $(1, -1)$. Aleshores, el valor de $\frac{dy}{dx}$ en aquest punt és igual a:

Pregunta 16 (1 punt). Grau d'homogeneïtat d'una funció

Donada la funció $f(x, y, z) = \frac{e^{\frac{2x+y}{2z}}}{x^2+2zy}$:

Pregunta 17 (1 punt). Existència d'extrems absoluts (Weierstrass)

Sigui $f: A \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una funció contínua en $A$. En quin dels següents conjunts podem afirmar que $f$ té màxim i mínim absoluts?

Pregunta 18 (1 punt). Punts crítics d'una funció de dues variables

La funció $f(x, y) = x^3 + xy - 2y + 1$ en el punt $(2, -12)$ té un:

Pregunta 19 (1 punt). Convexitat d'una funció amb paràmetre

La funció $f(x, y) = x^2 - bxy + y^2 + 2x - 3y + 5$ en $\mathbb{R}^2$, amb $b \in \mathbb{R}$, és convexa NOMÉS per a:

Pregunta 20 (1 punt). Maximització del benefici d'una empresa

Una empresa produeix dos productes A i B. Sabem que la funció de costos totals de l'empresa és:

$$C(q_1, q_2) = 2q_1^2 + 4q_2^2 + 10$$

on $q_1$ i $q_2$ són les unitats produïdes i venudes dels productes A i B, respectivament. La funció de demanda del primer article ve donada per $p_1 = 180 - q_1$, on $p_1$ és el seu preu unitari. Per al segon article, el preu unitari és de $224$ € per a qualsevol quantitat produïda i venuda. Quantes unitats de cada producte cal produir i vendre per a maximitzar els beneficis de l'empresa?