Examen de Estadística II UB 2025 · Juny

Pregunta 1. Intervalo de confianza de la varianza

Se desea analizar la duración media de la estancia de los visitantes en cuatro destinos turísticos principales (X11, X22, X33 y X44) a partir de una muestra de 150 turistas encuestados en cada localidad, obteniéndose el siguiente resumen muestral:

X11

X22

X33

X44

Media

6,141

6,097

6,091

5,577

Varianza de la muestra

4,182

4,029

4,079

3,306

Cuenta

150

150

150

150

Datos adicionales de la distribución ji-cuadrado con 149 grados de libertad:

$P(\chi^2_{149} < 178{,}48) = 0{,}95$

$P(\chi^2_{149} < 121{,}78) = 0{,}05$

$P(\chi^2_{149} < 127{,}35) = 0{,}10$

$P(\chi^2_{149} < 171{,}50) = 0{,}90$

A partir de estos valores, halle aproximadamente los extremos del intervalo de confianza para la varianza poblacional de la estancia en la ciudad 3 (X33) con un nivel de confianza del 80%:

.

Pregunta 2. Interpretación del nivel de confianza

Si se determina un intervalo de confianza para un parámetro poblacional con un nivel de confianza fijado en el 95%, ¿cuál es la interpretación estadística adecuada de dicho nivel?

Pregunta 3. Contraste unilateral para una proporción

El ayuntamiento de una ciudad solo ampliará la red de carriles bici si más del 75% de la población está a favor (hipótesis alternativa). Con este propósito se lleva a cabo un sondeo a 300 residentes. ¿Aproximadamente para qué valores de la proporción muestral no se decidirá ampliar el número de carriles bici empleando un nivel de significación del 5%?

Pregunta 4. Contraste F de igualdad de varianzas

Se analiza el gasto medio diario en euros de turistas en dos países (X2 Irlanda y X3 Portugal), asumiendo normalidad en ambas poblaciones. Con el fin de evaluar si presentan idéntica dispersión a un nivel de significación del 10%, se realiza la prueba F con la siguiente salida:

Prueba F para varianzas de dos muestras

X2-Irlanda

X3-Portugal

Media

200,2726228

196,0308268

Varianza

712,7864444

424,5245579

Observaciones

80

90

Grados de libertad

79

89

F

1,679

P(F <= f) una cola

0,007

Valor crítico para F (una cola)

1,322754378

Indique cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA:

Pregunta 5. Análisis de varianza de un factor (ANOVA)

Para contrastar si la estancia media de los turistas es idéntica en las cinco principales ciudades de un país, se toma una muestra de 150 turistas en cada una y se ejecuta una tabla ANOVA con el siguiente resultado:

Origen de las variaciones · Suma de cuadrados · Gr. libertad · Promedio Cuadrados · F · Probabilidad

Entre grupos · 34,14440875 · 4 · 8,536102188 · 2,13412003 · 0,0749079

Dentro de los grupos · 2979,868075 · 745 · 3,999822919

Total · 3014,012483 · 749

Es correcto afirmar:

Pregunta 6. Contraste de diferencia de dos proporciones

Se desea analizar si la proporción de ciudadanos favorables a aumentar la instalación de paneles solares en edificios municipales coincide en las ciudades C1 y C2, frente a la alternativa de que el porcentaje es mayor en C1 que en C2. Se dispone de 100 observaciones en cada ciudad, registrándose 50 opiniones favorables en C1 y 34 en C2. ¿Aproximadamente para qué nivel de significación no se rechazará la hipótesis nula?

Pregunta 7. Estimación de desviación estándar muestral en prueba t

Para examinar el gasto medio de los turistas en España (suponiendo normalidad), se realiza un contraste sobre la media poblacional mediante R-Commander obteniéndose el siguiente resumen:

One Sample t-test

data: X4.España

t = -0.30837, df = 109, p-value = 0.6208

alternative hypothesis: true mean is greater than 200

90 percent confidence interval:

195.9782 Inf

sample estimates:

mean of x

199.2238

A partir del reporte anterior, calcule el valor aproximado de la desviación estándar muestral:

Pregunta 8. Interpretación del p-valor en contraste de normalidad

Si al realizar un contraste de bondad de ajuste a la Normalidad se obtiene un p-valor estrictamente menor que el nivel de significación fijado, es correcto afirmar:

Pregunta 9. Probabilidad de la diferencia de medias muestrales

Se dispone de información estadística sobre la estatura de ciudadanos de nacionalidad española ($X$) y alemana ($Y$), ambas normales e independientes, según los parámetros de la siguiente tabla:

Nacionalidad · Española (X) · Alemana (Y)

Media Poblacional · 170,2 · 175,4

Desviación Típica Poblacional · 6,4 · 5,9

Tamaño Muestral · 30 · 40

A partir de la Tabla 1, calcule la probabilidad aproximada de que la diferencia de las medias muestrales ($\bar{X} - \bar{Y}$) resulte superior a -5,2 centímetros:

Pregunta 10. Probabilidad sobre la varianza muestral

A partir de los parámetros de la Tabla 1 para la población alemana ($Y$), halle aproximadamente la probabilidad de que la desviación muestral de $Y$ sea superior a la desviación típica poblacional de dicha variable, sabiendo que:

$P(\chi_{39}^2 < 40) = 0,5745$

$P(\chi_{39}^2 < 39) = 0,5302$

$P(\chi_{39}^2 < 58) = 0,998$

Pregunta 11. Test chi-cuadrado de independencia y frecuencias esperadas

Se clasifica un conjunto de agencias inmobiliarias por número de empleados y por posesión de plan de marketing, obteniéndose la siguiente tabla de contingencia:

Nº Empleados · Con Plan Marketing · Sin Plan Marketing

Menos de 100 · 13 (15,92) · 10 (A)

Entre 100 y 500 · 18 (20,77) · 12 (B)

Más de 500 · 32 (26,31) · 6 (C)

Los valores entre paréntesis indican las frecuencias esperadas bajo independencia. La prueba de ji-cuadrado de Pearson arroja:

Pearson's Chi-squared test

data:.Table

X-squared = 6.9469, df = 2, p-value = 0.03101 A la vista de los resultados y para un nivel de significación del 5%, señale la afirmación correcta:

Pregunta 12. Propiedades de estimadores puntuales

Dada una muestra aleatoria de tamaño $n$ ($n > 3$) de una variable normal con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$, se propone como estimador de la media poblacional:

$$\hat{\mu} = 3 \sum_{i=1}^{n} X_i$$

Indique cuál de las siguientes opciones es correcta:

Pregunta 13. Concepto y propiedades del error de tipo II

En un contraste de hipótesis paramétrico, seleccione la afirmación verdadera respecto a la probabilidad de cometer un error de tipo II ($\beta$):

Pregunta 14. Teorema central del límite para una variable discreta

Dada una variable aleatoria discreta $X$ cuya distribución de probabilidad es:

$X_i$ · 1 · 3 · 5 · 7

$P_i$ · 0,3 · 0,1 · 0,4 · 0,2

Si se toma una muestra aleatoria simple de 200 observaciones, determine la probabilidad aproximada de que la media muestral resulte superior a 4,25:

Pregunta 15. Propiedad de consistencia de un estimador

Al afirmar que un estimador puntual es consistente, ¿cuál de las siguientes proposiciones describe adecuadamente dicha propiedad?

.

Pregunta 16. Amplitud de intervalo de confianza para una proporción

Con el objetivo de conocer la proporción de bicicletas eléctricas en una ciudad, se inspecciona una muestra de 80 bicicletas, observándose que 12 de ellas son eléctricas. A partir de estos datos, determine la amplitud del intervalo de confianza para la proporción poblacional al 95% de confianza: