Examen de Física II URV 2020 · Recopilació d'Exàmens Parcials i Finals de Mecànica i Oscil·lacions

Problema 1 (10 punts). Oscil·lacions esmorteïdes i forçades (Convocatòria 23/1/2020)

Una partícula de massa $m = 20\text{ g}$ està acoblada a una molla de constant elàstica $K = 140\text{ N/m}$ i es desplaça en el si d'un medi viscós que oposa una força d'esmorteïment caracteritzada per $b = 2\text{ kg/s}$. En l'instant inicial, la partícula se situa a una distància de $4\text{ cm}$ respecte de la posició d'equilibri de la molla, allunyant-se'n a una velocitat de $2\text{ cm/s}$. Es demana:

a.

Trobar la posició que tindrà el mòbil transcorreguts $0,1\text{ s}$ des de l'inici.

b.

Si s'aplica posteriorment sobre el conjunt una força d'acció externa periòdica $F(t) = F_0\cos(\omega t)$ amb una freqüència de $0,5\text{ Hz}$, assolint-se en règim estacionari una amplitud d'oscil·lació de $2\text{ cm}$, calcular el mòdul $F_0$ d'aquesta força externa.

c.

Determinar el requisit per tal que s'esdevingui el fenomen de ressonància en elongació i calcular quina seria l'amplitud obtinguda sota el mateix valor de $F_0$ que a l'apartat anterior.

A

$\omega_0^2 > 2\gamma^2$

B

$\omega_0^2 < 2\gamma^2$

C

$\omega_0 = \gamma$

Qüestió 2 (5 punts). Anàlisi del potencial unidimensional U(x) = e^{-2x} - 2e^{-x}

Una partícula realitza un moviment unidimensional en presència d'un camp de forces conservatiu associat a l'energia potencial:

$$U(x) = e^{-2x} - 2e^{-x}$$

Es demana deduir l'expressió analítica de la força conservativa i examinar detalladament els règims dinàmics possibles segons el valor que prengui la seva energia mecànica total.

1.

2.

3.

4.

5.

Qüestió 3 [5 punts]. Òrbita circular d'un electró en el model prequàntic d'hidrogen

En el model clàssic per a l'àtom d'hidrogen, es considera un electró de càrrega $-e$ i massa $m_e$ que gira en una trajectòria circular de radi $a_0$ al voltant d'un protó central fix (càrrega $+e$). Trobeu les expressions del període del moviment orbital i del mòdul del moment angular en funció del radi $a_0$, la massa $m_e$, la càrrega elemental $e$ i la constant dielèctrica $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$.

1.

2.

Activitat 4 [5 punts]. Bloc en pla inclinat contra una molla amb fricció

Un cos de massa $m = 1\text{ kg}$ se situa a la part superior d'un pla amb una inclinació de $30^\circ$ respecte a l'horitzontal. A l'extrem inferior del pla es troba col·locada una molla elàstica de constant $K = 1\text{ N/m}$. La distància que separa la posició de partida de la massa i l'extrem lliure de la molla en repòs és de $2\text{ m}$. S'impulsa la massa costa avall amb una velocitat inicial d' $1\text{ m/s}$.

a)

Si el coeficient de fricció cinètica és $\mu = 0{,}1$, calculeu el treball desenvolupat per la força de fregament mentre la massa recorre els primers $2\text{ m}$ fins a tocar l'extrem de la molla.

b)

Trobeu la compressió màxima $x$ que patirà la molla en el moment d'aturar-se momentàniament el cos.

Activitat 5 (5 punts). Lliscament d'una caixa per un pla inclinat amb fricció

Una caixa de massa $20\text{ kg}$ s'allibera partint del repòs des del vèrtex superior d'un pla inclinat $30^\circ$ respecte a l'horitzontal. La longitud total que pot recórrer sobre el pla és de $6\text{ m}$.

a)

Determineu el temps que necessitarà per assolir la base del pla si el coeficient de fricció cinètica entre la caixa i la superfície val $\mu = 0{,}1$.

b)

Calculeu el treball efectuat per la força de fregament al llarg de tot el descens.

Problema 6. Comportament d'una molla en pla inclinat sense i amb fricció

Una molla ideal de massa negligible es deforma $1\text{ m}$ quan s'hi aplica una força estàtica de $100\text{ N}$. A continuació, aquesta molla es munta a la base d'un pla inclinat un angle de $30^\circ$ sobre l'horitzontal. Un cos de massa $10\text{ kg}$ es deixa caure lliurement des del repòs des de la part superior del pla i s'atura instantàniament en comprimir la molla una distància de $2\text{ m}$.

a)

Trobeu la constant elàstica $K$ de la molla.

b)

Assumint que en aquesta primera experiència no hi ha fricció, determineu la distància $d$ que ha lliscat el bloc abans de començar a tocar la molla.

c)

Calculeu el mòdul de la velocitat del cos just en l'instant en què entra en contacte amb la molla.

d)

Si es torna a repetir l'assaig des de la mateixa posició inicial, quin hauria de ser el coeficient de fricció cinètica perquè la deformació màxima de la molla es reduís a $0{,}5\text{ m}$?

Activitat 7 (5 punts). Estudi del potencial U(x) = 2/x^2 - 1/x

Una partícula es desplaça al llarg de l'eix $x$ en presència d'un camp de força conservatiu l'energia potencial del qual ve donada per:

$$U(x) = \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x} \quad (x > 0)$$

Representeu qualitativament $F(x)$ i $U(x)$, i analitzeu el moviment de la partícula segons que la seva energia mecànica total sigui positiva, negativa o nul·la.

Qüestió 8 (5 punts). Anàlisi de força, velocitat i acceleració a partir d'una corba de potencial

Considereu una partícula que es mou en una dimensió sota el potencial $U(x)$ mostrat a la figura, tenint una energia mecànica constant $E$.

Descriviu el comportament de la força, la velocitat i l'acceleració al llarg del domini accessible.

1.

2.

3.

4.

5.

Qüestió 9 (1 punt). Comportament dinàmic d'una molècula segons el nivell energètic

El gràfic següent representa l'energia potencial associada a una molècula diatòmica o poliatòmica:

Quines diferències dinàmiques fonamentals presentarà el sistema si la seva energia augmenta del nivell $E_1$ al nivell $E_2$?

Qüestió 10 (5 punts). Moviment unidimensional en pou de potencial asimètric (Prova 2/5/2016)

Una partícula es desplaça en una dimensió sota l'acció d'una força conservativa descrita pel diagrama d'energia potencial adjunt. Si posseeix una energia mecànica $E$ i inicialment parteix del punt $x = a$ orientant la seva velocitat cap al sentit de les $x$ creixents:

a)

Descriviu el moviment que desenvoluparà la partícula.

b)

Identifiqueu el signe i sentit de les forces que actuen en cada tram de la seva trajectòria.

c)

Comenteu les variacions que experimentarà la seva velocitat al llarg del recorregut.

Problema 11 (10 punts). Dispersió amb força central repulsiva F = 3K/r^4 (Prova 24/4/2017)

Una partícula puntual de massa $m$ es desplaça sota la influència d'un camp de forces centrals purament repulsiu el mòdul del qual respon a l'expressió:

$$F(r) = \frac{3K}{r^4} \quad (K > 0)$$

Se sap que la distància de màxima aproximació entre el mòbil i el centre de forces és $d$, i que el paràmetre d'impacte val $b$. Es demana:

a)

Deduir la funció d'energia potencial $U(r)$ associada a aquesta força, prenent com a referència nul·la l'infinit.

b)

Trobar la velocitat $v_\infty$ de la partícula quan es troba molt allunyada del centre en funció de $m$, $K$, $d$ i $b$.

c)

Determinar el moment angular de la partícula respecte del centre de forces en funció d'aquests mateixos paràmetres.

Qüestió 12 (5 punts). Oscil·lador harmònic esmorteït i ressonància (Prova 24/4/2017)

Un oscil·lador harmònic en règim infraesmorteït posseeix una freqüència angular pròpia $\omega_0 = 15\text{ rad/s}$ i un paràmetre d'esmorteïment $\gamma = 9\text{ s}^{-1}$. La massa es troba inicialment en repòs a la posició d'equilibri. En l'instant $t = 0$ rep un impuls sobtat que li transmet una velocitat instantània de $0,6\text{ m/s}$.

a)

Determineu la funció que descriu l'elongació del sistema en funció del temps.

b)

Si es connecta a un mecanisme extern que li indueix una excitació harmònica forçada, quines freqüències angulars hauria de tenir aquest mecanisme per aconseguir la ressonància en amplitud i la ressonància en velocitat, respectivament?

Problema 13 (10 punts). Oscil·lacions esmorteïdes i forçades (Prova 17/4/2013)

Un cos de $2\text{ kg}$ de massa es connecta a una molla de coeficient elàstic $K = 8\text{ N/m}$. El dispositiu oscil·la immers en un medi viscós de manera que, en un interval de $20\text{ s}$, l'amplitud es redueix fins a una quarta part del seu valor inicial. Es demana:

a)

Trobar el coeficient d'esmorteïment $b$ del medi.

b)

Calcular la pulsació pròpia de les oscil·lacions esmorteïdes.

c)

Si sobre aquest mateix oscil·lador s'aplica una força externa periòdica $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ amb amplitud $F_0 = 2\text{ N}$ i freqüència $f = 1\text{ Hz}$, quina serà l'amplitud de les oscil·lacions en el règim estacionari?

d)

Com es podria assolir la ressonància en velocitat per a una força del mateix tipus? Quin valor tindrà l'amplitud de la velocitat en aquest règim ressonant?

Problema 14 (10 punts). Molles acoblades en sèrie i moviment esmorteït (Primer Parcial 16/4/2018)

Es disposa de dues molles ideals de constants elàstiques $K_1 = 4\text{ N/m}$ i $K_2 = 6\text{ N/m}$ connectades en sèrie. Del seu extrem inferior es penja una massa $m = 20\text{ g}$. En l'instant inicial, s'allibera la massa sense velocitat inicial des d'una posició desplaçada $1\text{ cm}$ respecte de la posició d'equilibri estàtic (amb les molles estirades). El sistema experimenta a més una força viscosa proporcional a la velocitat, oposada al moviment, amb coeficient d'esmorteïment $b = 0{,}05\text{ kg/s}$. Es demana:

a.

b.

c.

Si s'aplica una força externa sinusoidal d'amplitud $F_0 = 4\text{ N}$, es podria produir el fenomen de ressonància en elongació?

Sí

No

Problema 15 (10 punts). Transicions d'òrbita atòmica prequàntica

En el model clàssic prequàntic de l'àtom d'hidrogen, un electró de càrrega $-e$ i massa $m_e$ descriu una òrbita circular de radi $r_0$ al voltant del nucli atòmic. Es demana expressar en funció de les dades del problema ($m_e$, $e$, $r_0$, l'excentricitat $\varepsilon$ i la constant electroestàtica $k$):

a)

La velocitat orbital inicial de l'electró i el seu moment angular.

b)

Si mitjançant una interacció externa s'altera el mòdul de la seva velocitat de manera que passa a descriure una òrbita el·líptica d'excentricitat $\varepsilon$ (mantenint $r_0$ com a radi mínim o perigeu), quina ha d'haver estat la variació d'energia cinètica experimentada per l'electró?

c)

Quina velocitat mínima addicional s'hauria d'haver transmès a l'electró a partir de l'òrbita circular inicial per aconseguir ionitzar completament l'àtom?

Problema 16. Potencial efectiu per a força central $F = k r^4$

Una partícula puntual de massa $m$ es mou sota l'acció d'un camp central atractiu el mòdul del qual és $F(r) = k r^4$, on $k$ és una constant positiva coneguda. El seu moment angular respecte al centre és una constant $L$.

a)

Dibuixeu un esquema qualitatiu del potencial efectiu $U_{\text{ef}}(r)$.

b)

Per a quin valor de l'energia total el moviment serà circular?

c)

Determineu el radi corresponent a aquesta òrbita circular en funció de les constants del problema.

Problema 17 (10 punts). Òrbita el·líptica prequàntica de l'àtom d'hidrogen (Prova 30/4/2014)

En el model clàssic d'un àtom hidrogenoide, un electró de càrrega $-e$ i massa $m_e$ descriu una òrbita el·líptica al voltant d'un nucli de càrrega $+e$. Se sap que les distàncies del perigeu i l'apogeu valen respectivament $r_p = R_0$ i $r_a = 3R_0$. Calculeu en funció de les dades del problema ($e$, $m_e$, $R_0$ i $k$):

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

Problema 18 (2 punts). Variació orbital per increment de velocitat radial o tangencial (Segona Convocatòria 21/06/2010)

En un model prequàntic per a l'àtom d'hidrogen, un electró de càrrega $-e$ i massa $m$ descriu una òrbita circular de radi $a$ al voltant del nucli central (càrrega $+e$).

a.

Si en un determinat instant es produeix un increment de velocitat purament radial de mòdul igual al doble de la velocitat que l'electró posseïa en l'òrbita circular inicial:

b.

Repetiu l'apartat anterior en el cas que el mateix increment (el doble de la velocitat circular inicial) s'hagués produït en sentit tangencial a la trajectòria: