Examen de Cálculo en una Variable UPC 2012 · Juny

PROBLEMA 1 (1.5 punts). Integral indefinida

Trobeu la primitiva següent:

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx$$

PROBLEMA 2 (1 punt). Volum de revolució i integral impròpia

Determineu el volum del cos de revolució que s'obté en girar la funció $f(x) = e^{-x}$ al voltant de l'eix $OX$ en el primer quadrant ($x \ge 0$). Representeu gràficament el sòlid resultant i concreteu la tipologia d'integral que cal resoldre.

a)

Representació gràfica del sòlid de revolució resultant:

b)

c)

PROBLEMA 3 (1 punt). Convergència d'una sèrie numèrica

Analitzeu el caràcter de la sèrie numèrica següent:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!3^n}{n^n}$$

PROBLEMA 4 (1 punt). Model financer de reinversió

Imposem un capital inicial $C$ en una entitat financera a un tipus d'interès anual constant $r$ (per exemple, $r = 0{,}1$ per a un 10%). Suposant que en finalitzar cada any es reinverteix tant el capital com els guanys obtinguts, observem la successió de guanys acumulats $g_n$: 1r any: $g_1 = Cr$

2n any: $g_2 = Cr + Cr(1+r)$

3r any: $g_3 = g_2 + Cr + g_2 r = Cr + Cr(1+r) + Cr(1+r)^2$

$\dots$

Any enèsim: $g_n = Cr + Cr(1+r) + Cr(1+r)^2 + \dots + Cr(1+r)^{n-1}$

a)

Deduïu l'expressió tancada per als guanys acumulats al cap de $n$ anys ($g_n$) i per al capital acumulat final $C_F$ (afegint el capital inicial $C$).

b)

Calculeu quant de temps es trigarà a duplicar el capital inicial.

PROBLEMA 5 (3 punts). Sèries numèriques i sèries de potències

a)

Trobeu el valor exacte al qual convergeix la sèrie següent:

$$\pi + \frac{\pi^2}{2!} + \frac{\pi^3}{3!} + \ldots$$

b)

Desenvolupeu en sèrie de potències la funció $f(x) = \frac{1}{1+ax}$ i determineu el seu domini de convergència.

c)

A partir del desenvolupament obtingut a l'apartat anterior, deduïu la sèrie de potències de la funció $f(x) = \frac{1}{(1+ax)^2}$ especificant el seu domini de convergència.

PROBLEMA 6 (2.5 punts). Integral cíclica i desenvolupament de Fourier

a.

Calculeu la integral següent:

$$\int e^x \sin(ax) \, dx$$

b.

Trobeu la sèrie de Fourier només de sinus associada a la funció $f(x) = e^x$ per a $x \in [0, 1]$, considerant que el període ha de ser $T = 2$. Justifiqueu cadascun dels passos realitzats.