Examen de Cálculo en una Variable UPC 2012 · Juny

PROBLEMA 1 (1.5 punts). Límit d'una indeterminació d'un elevat a infinit

Calculeu el valor del següent límit quan $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3n + 3}{1 + 3n}\right)^{\sqrt{n^2 + 1}}$$

PROBLEMA 2 (1.5 punts). Càlcul de paràmetre mitjançant infinitèsims

Determineu el valor del paràmetre real $\alpha$ de manera que el límit següent convergeixi a un nombre real no nul:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{(e^{\sqrt{x}}\sin x - \sin x)(1 - \cos x^2)}{x^\alpha}$$

Indiqueu també el valor que pren el límit per a aquest valor de $\alpha$.

PROBLEMA 3 (2.5 punts). Estudi de continuïtat i derivabilitat

Considereu la funció definida per:

$$f(x) = \frac{|x^2 - 4|}{x}$$

a.

Estudieu la continuïtat de $f(x)$ per a tot $x \in \mathbb{R}$. Indiqueu el conjunt on és contínua i el tipus de discontinuïtat si n'hi ha:

b.

Estudieu la derivabilitat de la funció exclusivament en el punt $x = 2$ emprant la definició formal de derivada mitjançant límits. Indiqueu les derivades laterals i si és derivable:

Sí

No

PROBLEMA 4 (2 punts). Polinomi de Taylor i estimació d'error

Per a la funció $f(x) = \tan x$:

a.

Trobeu el desenvolupament del polinomi de Taylor d'ordre 2 centrat al punt $x = \frac{\pi}{4}$.

b.

Feu servir el polinomi obtingut per calcular un valor aproximat de $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

c.

Calculeu una fita superior per a l'error comès en dita aproximació. (Podeu emprar la desigualtat $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) < 2$ per afitar l'error).

PROBLEMA 5 (2.5 punts). Estudi i representació gràfica d'una funció

Representeu gràficament la funció:

$$f(x) = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{e^x}$$

Per dur a terme la representació, realitzeu l'estudi seguint els apartats següents:

a.

Domini de definició, simetria i punts de tall amb els eixos.

b.

Intervals de creixement i decreixement, i extrems relatius.

c.

Concavitat, convexitat i punts d'inflexió.

d.

Asímptotes.

e.

Representació gràfica de la funció.