Examen de Matemáticas UVIC 2014 · Final - Càlcul Diferencial i Integral

1 Càlcul Diferencial - Exercici 1 (1 punt). Anàlisi gràfica d'una funció

A partir de la representació gràfica de la funció $f(x)$ que es mostra a continuació, determineu cadascun dels apartats:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

Càlcul Diferencial - Exercici 2 (1 punt). Domini de funció de dues variables

Trobeu el domini de la funció $f(x, y) = \sqrt{x^2 + 4 - y} + \ln(y - 1 + x^2)$ i feu-ne la representació gràfica al pla cartesià.

Càlcul Diferencial - Exercici 3 (1 punt). Càlcul de límit

Calculeu el següent límit:$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)\sin(5x)}{(x - x^3)^2}$$

Càlcul Diferencial - Exercici 4. Estudi complet d'una funció a trossos (Domini i continuïtat)

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} 2 - \sqrt{-2x^2 + x + 1}, & x < 0 \\ |x - 2| - 1, & 0 \le x < 3 \\ \frac{x^2 - 2x}{x - 1}, & 3 \le x < 8 \end{cases}$$

a.

Trobeu el domini de la funció $f_1(x) = 2 - \sqrt{-2x^2 + x + 1}$. [1 punt]

b.

Determineu el domini global de $f$. [0,5 punts]

c.

Analitzeu la continuïtat de $f$ en el seu domini. [1,25 punts]

Càlcul Diferencial - Exercici 4. Estudi complet d'una funció a trossos (Derivabilitat)

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} 2 - \sqrt{-2x^2 + x + 1}, & x < 0 \\ |x - 2| - 1, & 0 \le x < 3 \\ \frac{x^2 - 2x}{x - 1}, & 3 \le x < 8 \end{cases}$$

d.

Estudieu la derivabilitat de $f$. [1,25 punts]

Càlcul Diferencial - Exercici 5 [3 punts]. Derivades parcials, gradient i derivada direccional

Sigui el camp escalar definit per $f(x, y, z) = x^2 z^2 + x\sin(x^2 - yz)$.

a)

Calculeu les derivades parcials de primer ordre de $f$. [1,5 punts]

b)

Calculeu el gradient de $f$ en el punt $P = (-1, 2, 1/2)$. [0,75 punts]

$\nabla f(P) = ($ $,$ $,$ $)$

c)

Calculeu la derivada direccional de $f$ en el punt $P$ segons la direcció del vector $\vec{v} = (1, 1, -2)$. [0,75 punts]

Càlcul Integral - Exercici 1 (3 punts). Càlcul i classificació de punts crítics

Trobeu els punts crítics de cadascuna de les funcions següents i procediu a la seva classificació:

a.

$f(x) = 4|x + 1| - x^2$

Càlcul Integral - Exercici 1 (3 punts). Càlcul i classificació de punts crítics

Trobeu els punts crítics de cadascuna de les funcions següents i procediu a la seva classificació:

b.

$f(x, y) = -4x^3 + 3x^2y - 3y^2 + 9y$

Trobeu els punts crítics $(x, y)$ i indiqueu la seva classificació (màxim local, mínim local o punt de sella).

Primer punt crític (menor valor de $x$, o $x=0$):

Punt $(x, y)$:

(

,

)

Segon punt crític (valor intermedi de $x$):

Punt $(x, y)$:

(

,

)

Tercer punt crític (major valor de $x$):

Punt $(x, y)$:

(

,

)

Càlcul Integral - Exercici 2 (2 punts). Càlcul d'integrals primitives

Calculeu les següents integrals indefinides:

a.

$$\int x^2 \sqrt{x - 2}\, dx$$

b.

$$\int x \cos\left(\frac{x^2}{3}\right)\, dx$$

Càlcul Integral - Exercici 3 (2,5 punts). Integral impròpia i integral definida racional

Resoleu les integrals següents:

a.

$$\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}}\,dx$$

b.

$$\int_0^1 \frac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)}\,dx$$

Calculeu l'àrea de la regió que conté l'origen de coordenades $(0,0)$ i que queda delimitada per les corbes:

$$y = (x - 1)^2 - 2, \quad y = 1 - x, \quad y = x - 1$$

u²