Examen de Matemáticas UVIC 2014 · parcial de Càlcul - Novembre 2014

Pregunta 1. Anàlisi gràfica d'una funció

A partir de la representació gràfica de la funció $f$ que s'adjunta tot seguit, determineu cadascun dels elements demanats:

A partir de la representació gràfica de la funció $f$ que s'adjunta tot seguit:

a.

b.

c.

d.

Pregunta 1. Anàlisi gràfica d'una funció

A partir de la representació gràfica de la funció $f$ que s'adjunta tot seguit, responeu a l'apartat següent:

A partir de la representació gràfica de la funció $f$ que s'adjunta tot seguit:

e.

Estudi de la derivabilitat de $f$. Indiqueu el conjunt de punts on $f$ és derivable o justifiqueu els punts on no ho és:

Trobeu el domini de la següent funció escalar de dues variables i feu-ne la representació gràfica en el pla $\mathbb{R}^2$:

$$f(x, y) = \sqrt{y-1} + x \ln(x - y^2)$$

a)

b)

c)

Calculeu el límit següent:

$$\lim_{x \to 0^+} x \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$$

Considereu la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{\dfrac{(x+3)x(x-2)}{x+1}}, & x \le 0 \\[1em] -\dfrac{1}{x-4}, & 0 < x \le 3 \\[1em] 2|x-4|-1, & 3 < x < 7 \end{cases}$$

a.

Calculeu el domini de $f$.

b.

Estudieu la continuïtat de $f$.

Considereu la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \sqrt{\dfrac{(x+3)x(x-2)}{x+1}}, & x \le 0 \\[1em] -\dfrac{1}{x-4}, & 0 < x \le 3 \\[1em] 2|x-4|-1, & 3 < x < 7 \end{cases}$$

c. Estudieu la derivabilitat de $f$.

Pregunta 5 [1 punt]. Recta tangent per derivació implícita

Trobeu l'equació de la recta tangent a la corba determinada per l'equació implícita

$$x^3 - 2y^2 \ln(y - x) = 0$$

en el punt $(x, y) = (0, 1)$.

Pregunta 6 (3 punts). Derivades parcials i direccionals

Considereu el camp escalar de tres variables:

$$f(x, y, z) = x^2 \sin(x y^2 - z) + z^2$$

a.

Calculeu les derivades parcials de primer ordre de $f$. (1,5 punts)

b.

Trobeu el vector gradient de $f$ en el punt $(1, 0, \frac{\pi}{2})$. (0,75 punts)

$v_x =$

, $v_y =$

, $v_z =$

c.

Calculeu la derivada direccional de $f$ en el punt $(1, 0, \frac{\pi}{2})$ segons la direcció del vector $\vec{v} = (2, -1, -4)$. (0,75 punts)