Examen de Matemáticas UVIC 2014 · parcial Matemàtiques I - Gener 2014

Pregunta 1 (3 punts). Punts crítics i classificació

Trobeu els punts crítics de les funcions següents i determineu la seva naturalesa (extrems relatius o punts de sella):

a.

$f(x) = 4x|x - 3| - x^2$

Pregunta 1 (3 punts). Punts crítics i classificació

Trobeu els punts crítics de les funcions següents i determineu la seva naturalesa (extrems relatius o punts de sella):

b. $f(x, y) = 2x^2y - 4xy + y^2$

Pregunta 2 (2 punts). Calculeu les integrals indefinides següents:

a.

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{x - 2}} \, dx$$

b.

$$\int \frac{x - 1}{x^2 - x - 2} \, dx$$

Pregunta 3 (2,5 punts). Integrals definides i impròpies

Resoleu les integrals següents:

a.

$$\int_0^{\pi/6} x\cos(3x)\,dx$$

b.

$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x\ln^3 x}\,dx$$

Pregunta 4 (2,5 punts). Àrea d'una regió del pla

Calculeu l'àrea de la regió del pla delimitada per les tres corbes següents, triant la regió que conté l'origen de coordenades $(0,0)$:

$$y = x^2 - 1, \quad y = (x - 2)^2 - 3, \quad y = 1 - x$$