Exercici 4 · Matemàtiques Ii UAB 2020

Tema: Diferenciabilitat, diferencial total i regla de la cadena · Del examen Examen de seguiment (Segona prova) - Desembre 2020 (2020)

Enunciado

Sigui la funció de tres variables:

u=f(x,y,z)=3y2z+ze−2xyu = f(x, y, z) = 3y^2 z + \frac{z e^{-2x}}{y}

a.

Determineu la matriu hessiana HH avaluada en el punt P(0,−1,3)P(0, -1, 3). Relleneu els elements de la matriu hessiana simètrica de 3×33\times 3:

b.

Calculeu la diferencial de segon ordre d2ud^2u de la funció en el mateix punt PP per als valors dels diferencials de les variables independents dx=−0,5dx = -0{,}5, dy=0,4dy = 0{,}4 i dz=−0,3dz = -0{,}3.

Enunciado: Exercici 4 · Matemàtiques Ii UAB 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Element H_11 = ∂²u/∂x² en P(0, -1, 3):

Solución: -12

Element H_12 = ∂²u/(∂x∂y) en P(0, -1, 3):

Solución: 6

Element H_13 = ∂²u/(∂x∂z) en P(0, -1, 3):

Solución: 2

Element H_21 = ∂²u/(∂y∂x) en P(0, -1, 3):

Solución: 6

Element H_22 = ∂²u/∂y² en P(0, -1, 3):

Solución: 12

Element H_23 = ∂²u/(∂y∂z) en P(0, -1, 3):

Solución: -7

Element H_31 = ∂²u/(∂z∂x) en P(0, -1, 3):

Solución: 2

Element H_32 = ∂²u/(∂z∂y) en P(0, -1, 3):

Solución: -7

Element H_33 = ∂²u/∂z² en P(0, -1, 3):

Solución: 0

b. Calculeu la diferencial de segon ordre d²u de la funció en el mateix punt P per als valors dels diferencials dx = -0,5, dy = 0,4 i dz = -0,3.

Solución: -1,2

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