Exercici 1 · Matemàtiques Ii UAB 2020

Exercici 1 [3 punts]. Matriu jacobiana i determinació de paràmetres

a.

Determineu la matriu jacobiana $J$ associada a la següent funció vectorial $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$:

$$f(x, y) = (e^{xy}\sin(y), e^{xy}\cos(y))$$

Posteriorment, calculeu el seu determinant jacobià $|J|$, simplificant al màxim el resultat (recordeu que $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$).

b.

Es considera la funció real de dues variables independents:

$$z = f(x, y) = ax^3 + by^2 + 5cx - 6xy$$

Trobeu els valors dels coeficients $a$, $b$ i $c$ de manera que, en el punt $P(1, 1)$, la matriu jacobiana correspongui a $J|_P = (-15, 2)$ i el determinant de la seva matriu hessiana sigui $|H|_P = 60$.