Exercici 2 · Matemàtiques Ii UAB 2020

Tema: Domini i recorregut de funcions de dues variables · Del examen Examen de seguiment (Novembre 2020) (2020)

Enunciado

Exercici 2 (4 punts). Dominis i recorreguts de funcions de dues variables

Considereu les dues funcions de dues variables independents següents:

z=f(x,y)=3−64−x2−4y2z=g(x,y)=log⁡(4x2−y2−4)z = f(x, y) = 3 - \sqrt{64 - x^2 - 4y^2} \qquad z = g(x, y) = \log(4x^2 - y^2 - 4)

Per a cadascuna d'elles:

Determineu el seu domini de definició de manera analítica.

Indiqueu les característiques topològiques del domini (si és obert/tancat, fitat/no fitat, connex, etc.) i descriviu la seva representació gràfica sobre el pla xyxy.

Calculeu raonadament el seu recorregut (o conjunt imatge).

Funció f(x,y)=3−64−x2−4y2f(x, y) = 3 - \sqrt{64 - x^2 - 4y^2}

Funció g(x,y)=log⁡(4x2−y2−4)g(x, y) = \log(4x^2 - y^2 - 4)

Enunciado: Exercici 2 · Matemàtiques Ii UAB 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Funció f(x, y): Condició analítica del domini

Solución: x^2/64 + y^2/16 <= 1 / x^2 + 4y^2 <= 64

Funció f(x, y): Característiques topològiques i descripció de la representació gràfica

Solución: El domini correspon a l'el·lipse centrada a l'origen (0, 0) amb semieixos a = 8 (sobre l'eix X) i b = 4 (sobre l'eix Y), incloent-hi tota la seva regió interior i la seva vora. És un conjunt tancat (inclou la frontera), fitat, compacte i connex.

Funció f(x, y): Recorregut

Solución: [-5, 3]

Funció g(x, y): Condició analítica del domini

Solución: x^2 - y^2/4 > 1 / 4x^2 - y^2 > 4

Funció g(x, y): Característiques topològiques i descripció de la representació gràfica

Solución: L'equació de la frontera és la hipèrbola centrada a l'origen x^2 - y^2/4 = 1, amb vèrtexs a (±1, 0) i asímptotes y = ±2x. La desigualtat estricta determina la regió exterior a ambdues branques (on |x| > sqrt(1 + y^2/4)). És un conjunt obert (no inclou la hipèrbola), no fitat i no connex (està format per dues components disjuntes: una a la dreta x > 1 i una altra a l'esquerra x < -1).

Funció g(x, y): Recorregut

Solución: R / (-inf, +inf) / (-∞, +∞)

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 3 · 2020 · Exercici 3 · 2020 ›

Más ejercicios de Domini i recorregut de funcions de dues variables