Exercici 2 · Matemàtiques Ii UAB 2020

Tema: Domini i recorregut de funcions de dues variables · Del examen Examen: 1a Prova de seguiment (Novembre 2020) (2020)

Enunciado

Exercici 2 (4 punts). Domini, característiques topològiques i recorregut de funcions de dues variables

Tingueu en compte les següents funcions reals de dues variables independents:

z=f(x,y)=3−16−(x−3)2−(y+1)2z = f(x, y) = 3 - \sqrt{16 - (x - 3)^2 - (y + 1)^2}

z=g(x,y)=log⁡(16−x2+4y2)z = g(x, y) = \log(16 - x^2 + 4y^2)

Per a cadascuna d'aquestes funcions:

a)

Troba el domini analíticament i descriu la seva frontera.

b)

Indica les característiques topològiques del domini (obert/tancat, fitat/no fitat, compacte/no compacte, convex/no convex).

c)

Fent servir els càlculs que calgui, determina el recorregut (imatge) de la funció.

Enunciado: Exercici 2 · Matemàtiques Ii UAB 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Troba el domini analíticament i descriu la seva frontera per a f(x, y).

Solución: D(f)={(x,y)∈R2∣(x−3)2+(y+1)2≤16}D(f) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x-3)^2 + (y+1)^2 \le 16\}. La frontera és la circumferència (x−3)2+(y+1)2=16(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16 (centre C(3,−1)C(3, -1) i radi r=4r = 4).

a. Troba el domini analíticament i descriu la seva frontera per a g(x, y).

Solución: D(g)={(x,y)∈R2∣x216−y24<1}D(g) = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} < 1\right\}. La frontera és la hipèrbola x216−y24=1\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1 amb eix focal l'eix XX i semieixos a=4,b=2a=4, b=2.

b. Indica les característiques topològiques del domini de f(x, y)

Solución: Tancat, fitat, compacte i convex.

b. Indica les característiques topològiques del domini de g(x, y)

Solución: Obert, no fitat, no compacte i no convex.

c. Recorregut de la funció f(x, y)

Solución: [−1,3][-1, 3]

c. Recorregut de la funció g(x, y)

Solución: R\mathbb{R}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 3 · 2020

Más ejercicios de Domini i recorregut de funcions de dues variables