Sujet du Bac Sciences de l'Ingénieur 2026 · Métropole 2

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot caddie

Le robot caddie Gita est comparable à un coffre intelligent: il suit son propriétaire, qu'il soit à pied ou à vélo. Destiné à un large public, le robot peut s'avérer particulièrement utile pour les personnes à mobilité réduite en les aidant à transporter et stocker leurs courses par exemple. Il est capable de se déplacer de manière autonome en suivant un itinéraire programmé à l'avance. Équipé de capteurs visuels, le robot peut détecter et éviter les obstacles sur son chemin. Il est capable de franchir des pentes allant jusqu'à 16 %.

La figure 1 représente le diagramme de cas d'utilisation du robot.

Le diagramme partiel de la figure 2 permet d'exprimer certaines exigences concernant le robot.

Sous-partie 1: Étude de l'avancement du robot

L'objectif de cette sous-partie est de valider la transmission de puissance permettant l'avancement du robot au regard des exigences attendues.

Le robot est composé de deux roues motrices entraînées chacune par un moteur indépendant. Il suit un utilisateur à une vitesse maximale de $2{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$. Il se déplace sur différentes surfaces (bitume, planches de bois) et peut transporter une charge allant jusqu'à 18 kg. La masse totale (robot + charge) est alors de 41 kg.

La transmission de puissance permettant l'avancement du robot est étudiée lors d'une phase d'accélération rectiligne sur une pente.

Une pente de $x\text{ \%}$ correspond à un dénivelé de $x$ mètres pour une distance horizontale de 100 m (figure 3).

1.1

Relever la pente maximale à l'aide du diagramme des exigences figure 2. Montrer qu'elle correspond à un angle $\alpha$ de $9{,}1^\circ$.

%

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Robot caddie

Le robot caddie Gita est comparable à un coffre intelligent: il suit son propriétaire, qu'il soit à pied ou à vélo. Destiné à un large public, le robot peut s'avérer particulièrement utile pour les personnes à mobilité réduite en les aidant à transporter et stocker leurs courses par exemple. Il est capable de se déplacer de manière autonome en suivant un itinéraire programmé à l'avance. Équipé de capteurs visuels, le robot peut détecter et éviter les obstacles sur son chemin. Il est capable de franchir des pentes allant jusqu'à 16 %.

La figure 1 représente le diagramme de cas d'utilisation du robot.

Le diagramme partiel de la figure 2 permet d'exprimer certaines exigences concernant le robot.

Sous-partie 1 – Étude de l'avancement du robot

Le robot est composé de deux roues motrices entraînées chacune par un moteur indépendant. Il suit un utilisateur à une vitesse maximale de $2{,}1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. Le déplacement s'effectue en ligne droite. La chaîne de puissance associée à chacun des deux moteurs est représentée par le schéma-blocs de la figure 4.

1.2

Déterminer la vitesse angulaire $\omega_{\text{roue}}$ des roues lorsque le robot atteint $V_{\max} = 2{,}1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

1.4

Pour la suite, la force motrice globale nécessaire pour déplacer le robot est $F_{\text{motrice}} = 80\ \text{N}$. Calculer la puissance motrice totale $P_{\text{motrice}}$ pour déplacer le robot à sa vitesse maximale $V_{\max} = 2{,}1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

1.5

L'étude porte sur la chaîne de transmission de chacune des deux roues motrices indépendantes (la force motrice totale de $80\ \text{N}$ est donc répartie équitablement entre les deux roues: $F_{\text{roue}} = 40\ \text{N}$). À l'aide de la figure 4, déterminer le couple en sortie du réducteur $C_{\text{roue}}$, puis le couple fourni par le moteur $C_{\text{moteur}}$.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot caddie

Le robot caddie Gita est comparable à un coffre intelligent: il suit son propriétaire, qu'il soit à pied ou à vélo. Destiné à un large public, le robot peut s'avérer particulièrement utile pour les personnes à mobilité réduite en les aidant à transporter et stocker leurs courses par exemple. Il est capable de se déplacer de manière autonome en suivant un itinéraire programmé à l'avance. Équipé de capteurs visuels, le robot peut détecter et éviter les obstacles sur son chemin. Il est capable de franchir des pentes allant jusqu'à 16 %.

La figure 1 représente le diagramme de cas d'utilisation du robot.

Le diagramme partiel de la figure 2 permet d'exprimer certaines exigences concernant le robot.

Afin de vérifier que le robot peut monter des pentes de 16 %, il faut s'assurer que le moteur choisi possède un couple suffisant pour permettre ce déplacement.

L'ensemble des actions mécaniques s'exerçant sur le robot est représenté sur la figure 5.

Hypothèses:

l'étude est réalisée dans le plan $(O,\vec{x},\vec{y})$;

l'étude est faite dans le cas d'une pente de 16 % (équivalente à 9,1°);

l'accélération du robot est de $0,2\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$;

le coefficient de résistance au roulement est noté $C_r = 0,02$;

le coefficient de traînée aérodynamique est noté $C_x = 0,7$;

la surface frontale vaut $S = 0,363\text{ m}^2$;

la densité de l'air vaut $\rho = 1,2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$;

l'accélération de la pesanteur vaut $g = 9,81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$.

La résistance au roulement et la traînée aérodynamique sont définies par les relations suivantes:

$$R_r = C_r \cdot m \cdot g \quad\text{et}\quad R_a = \frac{1}{2}\cdot \rho \cdot S \cdot C_x \cdot V^2$$

Question 1.3

En utilisant le théorème de la résultante dynamique, déterminer l'expression de la force motrice du robot $F_{\text{motrice}}$ puis calculer sa valeur.

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Robot caddie

Le robot caddie Gita est comparable à un coffre intelligent: il suit son propriétaire, qu'il soit à pied ou à vélo. Destiné à un large public, le robot peut s'avérer particulièrement utile pour les personnes à mobilité réduite en les aidant à transporter et stocker leurs courses par exemple. Il est capable de se déplacer de manière autonome en suivant un itinéraire programmé à l'avance. Équipé de capteurs visuels, le robot peut détecter et éviter les obstacles sur son chemin. Il est capable de franchir des pentes allant jusqu'à 16 %.

La figure 1 représente le diagramme de cas d'utilisation du robot.

Le diagramme partiel de la figure 2 permet d'exprimer certaines exigences concernant le robot.

L'étude porte sur la chaîne de transmission de chacune des deux roues.

À la question 1.5, il a été établi que le couple fourni par le moteur pour gravir une pente de 16 % vaut $C_{\text{moteur}} = 0{,}3\text{ N}\cdot\text{m}$.

Les caractéristiques techniques du moteur utilisé sont fournies figure 6:

Question 1.6

Conclure quant à la possibilité du robot à avancer dans une pente de 16 %.

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Robot caddie

Le robot caddie Gita est comparable à un coffre intelligent: il suit son propriétaire, qu'il soit à pied ou à vélo. Destiné à un large public, le robot peut s'avérer particulièrement utile pour les personnes à mobilité réduite en les aidant à transporter et stocker leurs courses par exemple. Il est capable de se déplacer de manière autonome en suivant un itinéraire programmé à l'avance. Équipé de capteurs visuels, le robot peut détecter et éviter les obstacles sur son chemin. Il est capable de franchir des pentes allant jusqu'à 16 %.

La figure 1 représente le diagramme de cas d'utilisation du robot.

Le diagramme partiel de la figure 2 permet d'exprimer certaines exigences concernant le robot.

Sous-partie 2 – Validation des performances de la batterie

L'objectif de cette sous-partie est de valider les performances de la batterie utilisée dans le robot.

Afin de vérifier les performances du robot, l'étude est réalisée dans un cas d'utilisation en ligne droite. Les deux moteurs sont alors ramenés à un moteur équivalent. La figure 7 représente le modèle multi-physique du système.

Question 1.7

D'après le modèle multi-physique, déterminer les grandeurs d'efforts et de flux ainsi que leurs unités sur le document DR1.

Liaison: Modulateur de puissance → Moteur droit

Liaison: Moteur droit → Transmission

Liaison: Transmission → Roue droite

Sortie: Roue droite

Sur terrain plat, le robot consomme une puissance électrique de 20 W à $1{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ ce qui correspond à une tension moyenne en sortie du modulateur de puissance (MLI) de 30 V. Le courant théorique circulant dans le moteur équivalent vaut $I_{\text{th}} = \frac{P}{U} = \frac{20}{30} \approx 0{,}67\text{ A}$.

La figure 8 donne l'évolution du courant dans le moteur équivalent au démarrage sur terrain plat, obtenu à l'aide du modèle multi-physique.

Question 1.9

Justifier l'allure du courant dont l'évolution est représentée figure 8.

Relever en régime permanent le courant dans le moteur équivalent simulé par le modèle multi-physique:

Comparer avec la valeur théorique déterminée précédemment ($0{,}67\text{ A}$):

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Robot caddie

Le robot caddie Gita est comparable à un coffre intelligent: il suit son propriétaire, qu'il soit à pied ou à vélo. Destiné à un large public, le robot peut s'avérer particulièrement utile pour les personnes à mobilité réduite en les aidant à transporter et stocker leurs courses par exemple. Il est capable de se déplacer de manière autonome en suivant un itinéraire programmé à l'avance. Équipé de capteurs visuels, le robot peut détecter et éviter les obstacles sur son chemin. Il est capable de franchir des pentes allant jusqu'à 16 %.

La figure 1 représente le diagramme de cas d'utilisation du robot.

Le diagramme partiel de la figure 2 permet d'exprimer certaines exigences concernant le robot.

Sous-partie 2 – Validation des performances de la batterie

L'objectif de cette sous-partie est de valider les performances de la batterie utilisée dans le robot.

Afin de vérifier les performances du robot, l'étude est réalisée dans un cas d'utilisation en ligne droite. Les deux moteurs sont alors ramenés à un moteur équivalent.

1.8

Sur terrain plat, le robot consomme une puissance électrique de $20\text{ W}$ à $1{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ ce qui correspond à une tension moyenne en sortie du modulateur de puissance (MLI) de $30\text{ V}$.

Déterminer le courant théorique circulant dans le moteur équivalent sur terrain plat.

1.10

À l'aide du modèle multi-physique, un parcours type du robot d'une durée d'une heure est simulé. La puissance consommée pendant ce parcours est représentée figure 9.

Montrer que l'énergie nécessaire pour réaliser le parcours type présenté figure 9 est de $51{,}7\text{ W}\cdot\text{h}$.

1.11

Afin d'optimiser la durée de vie de la batterie, il est préconisé de limiter la décharge à $80\,\%$ de sa capacité nominale de charge (profondeur de décharge).

Calculer l'énergie disponible dans la batterie en $\text{W}\cdot\text{h}$ à partir de l'exigence id 1.2.2. En déduire le nombre de parcours type que peut réaliser le robot en tenant compte de la profondeur de décharge.

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Le robot caddie Gita est comparable à un coffre intelligent: il suit son propriétaire, qu'il soit à pied ou à vélo. Destiné à un large public, le robot peut s'avérer particulièrement utile pour les personnes à mobilité réduite en les aidant à transporter et stocker leurs courses par exemple. Il est capable de se déplacer de manière autonome en suivant un itinéraire programmé à l'avance. Équipé de capteurs visuels, le robot peut détecter et éviter les obstacles sur son chemin. Il est capable de franchir des pentes allant jusqu'à 16 %.

La figure 1 représente le diagramme de cas d'utilisation du robot.

Le diagramme partiel de la figure 2 permet d'exprimer certaines exigences concernant le robot.

Données et rappels des questions précédentes

Exigence id = 1.2.2: Le robot doit fonctionner en toute autonomie pendant $4\text{ h}$.

Question 1.10: Énergie nécessaire pour réaliser un parcours type d'une heure: $E_{\text{parcours}} = 51{,}7\text{ W}\cdot\text{h}$.

Question 1.11: Batterie $36\text{ V} / 5\text{ A}\cdot\text{h}$ avec une profondeur de décharge limitée à $80\,\%$: énergie disponible $E_{\text{disponible}} = 180\text{ W}\cdot\text{h} \times 0{,}80 = 144\text{ W}\cdot\text{h}$, soit un nombre de parcours réalisables d'environ $2{,}78$ (ce qui correspond à une autonomie d'environ $2\text{ h } 47\text{ min}$).

Question 1.12. D'après l'exigence 1.2.2, conclure sur l'autonomie du robot sur ce parcours.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot caddie

Le robot caddie Gita est comparable à un coffre intelligent: il suit son propriétaire, qu'il soit à pied ou à vélo. Destiné à un large public, le robot peut s'avérer particulièrement utile pour les personnes à mobilité réduite en les aidant à transporter et stocker leurs courses par exemple. Il est capable de se déplacer de manière autonome en suivant un itinéraire programmé à l'avance. Équipé de capteurs visuels, le robot peut détecter et éviter les obstacles sur son chemin. Il est capable de franchir des pentes allant jusqu'à 16 %.

La figure 1 représente le diagramme de cas d'utilisation du robot.

Le diagramme partiel de la figure 2 permet d'exprimer certaines exigences concernant le robot.

Sous-partie 3 – Gestion de la batterie

L'objectif de cette sous-partie est de valider la communication du niveau de charge de la batterie du robot.

Le robot communique à distance sur le niveau de charge de sa batterie via l'application « MyGita app ». Il informe également par l'éclairage de ses roues au moyen de trois bandeaux de diodes électroluminescentes (DEL) et d'une DEL bicolore au niveau du bouton sur le dessus du robot (figure 10). L'éclairage peut être complété par un signal sonore.

La gestion de l'éclairage est la suivante:

quand le niveau de la batterie est supérieur à 50 % de sa charge totale, la roue est de couleur blanche;

quand le niveau de la batterie atteint 50 % de sa charge totale, la roue passe du blanc au jaune;

quand le niveau de la batterie atteint 10 % de sa charge totale, la roue et le bouton clignotent en jaune et un son discontinu est émis;

quand le niveau de la batterie atteint 5 % de sa charge totale, la roue et le bouton deviennent rouge en continu.

Le niveau de charge de la batterie du robot est contrôlé en surveillant la tension $U_{\text{bat}}$ qui diminue au cours de la décharge.

La chaîne d'information associée à la surveillance du niveau de charge de la batterie (figure 11) comporte un pont diviseur de tension pour réaliser l'adaptation de la tension, un convertisseur analogique numérique (CAN), une unité de contrôle qui gère les DEL et la sonnerie.

Le pont diviseur de tension (figure 12) est composé de deux résistances $R_1$ et $R_2$.

La batterie du robot atteint une tension de $41{,}92\text{ V}$ lorsqu'elle est chargée à 100 %.

Les deux résistances utilisées ont pour valeur $R_1 = 910\ \Omega$ et $R_2 = 120\ \Omega$.

Question 1.13

Donner l'expression de $U_{\text{mes}}$ en fonction $U_{\text{bat}}$, $R_1$ et $R_2$ puis sa valeur lorsque la tension de la batterie est maximale. Conclure vis-à-vis de la tension de référence du CAN.

La courbe de décharge de la batterie est donnée figure 13.

Question 1.14 & 1.15

Sur le document réponse DR2 ci-dessous:

Question 1.14: Compléter la valeur de $U_{\text{bat}}$ à partir de la figure 13 pour une charge de 25 %, puis compléter $U_{\text{mes}}$.

Question 1.15: Déterminer la valeur du quantum $q$ en Volt (V) du convertisseur analogique numérique (CAN), puis compléter la valeur manquante de $N$ dans le tableau.

Batterie

100 %

75 %

50 %

25 %

10 %

5 %

0 %

$U_{\text{bat}}\text{ (V)}$

41,92

41,09

36

30,22

30,13

30,08

$U_{\text{mes}}\text{ (V)}$

4,88

4,79

4,19

3,52

3,51

3,50

$N$

1000

980

859

721

719

718

V

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Robot caddie

Le robot caddie Gita est comparable à un coffre intelligent: il suit son propriétaire, qu'il soit à pied ou à vélo. Destiné à un large public, le robot peut s'avérer particulièrement utile pour les personnes à mobilité réduite en les aidant à transporter et stocker leurs courses par exemple. Il est capable de se déplacer de manière autonome en suivant un itinéraire programmé à l'avance. Équipé de capteurs visuels, le robot peut détecter et éviter les obstacles sur son chemin. Il est capable de franchir des pentes allant jusqu'à 16 %.

La figure 1 représente le diagramme de cas d'utilisation du robot.

Le diagramme partiel de la figure 2 permet d'exprimer certaines exigences concernant le robot.

Sous-partie 3 - Traitement de l'information: algorithmes et programmation

Les trois bandeaux de DEL, la DEL bicolore au niveau du bouton et la sonnerie sont reliés au microcontrôleur de la façon suivante:

la borne 2 commande l'allumage et l'extinction du bandeau blanc sur la roue;

la borne 3 contrôle le bandeau jaune de la roue;

la borne 4 agit sur la couleur jaune de la DEL bicolore;

la borne 5 pilote le bandeau rouge et la couleur rouge de la DEL bicolore;

la borne 6 est dédiée à la commande de la sonnerie.

Extrait du tableau de conversion de la tension de batterie (document réponse DR2):

Batterie

100 %

75 %

50 %

25 %

10 %

5 %

0 %

$U_{\text{bat}}$ (V)

41,92

41,09

36

30,22

30,13

30,08

$U_{\text{mes}}$ (V)

4,88

4,79

4,19

3,52

3,51

3,50

$N$

1000

980

859

721

719

718

Question 1.16

Compléter l'algorithme de contrôle des voyants et signaux sonores sur le document réponse DR2 en utilisant les données précédentes.

# Configuration des DEL et du buzzer

DEL_2 = pin2 # bandeau DEL blanches roue

DEL_3 = pin3 # bandeau DEL jaune roue

DEL_4 = pin4 # DEL jaune bouton

DEL_5 = pin5 # bandeau DEL rouge roue et DEL bouton rouge

BUZZER = pin6 # Buzzer (sonnerie)

while True:

Batterie = pin0.read_analog() # Lire la batterie (0-1023)

display.clear() # Effacer l'écran DEL du micro:bit

DEL_5.write_digital(0)

DEL_4.write_digital(0)

DEL_3.write_digital(0)

DEL_2.write_digital(0)

BUZZER.write_digital(0)

if Batterie >= 859: # Batterie au-dessus de 50%

DEL_2.write_digital(1)

if < Batterie < 859: # Batterie entre 10% et 50%

DEL_3.write_digital()

elif < Batterie <=: # Batterie entre 5% et 10%

DEL_.write_digital(1)

DEL_.write_digital(1)

BUZZER.write_digital(1) # Activer le buzzer

sleep(500)

DEL_3.write_digital(0)

DEL_4.write_digital(0)

BUZZER.write_digital(0) # Désactiver le buzzer

sleep(500)

elif Batterie <=: # Batterie critique moins de 5%

DEL_5.write_digital(1)

BUZZER.write_digital(1) # Buzzer en continu

display.scroll("Batterie faible") # Afficher le message

# "Batterie faible"

sleep(100)

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Robot caddie

Le robot caddie Gita est comparable à un coffre intelligent: il suit son propriétaire, qu'il soit à pied ou à vélo. Destiné à un large public, le robot peut s'avérer particulièrement utile pour les personnes à mobilité réduite en les aidant à transporter et stocker leurs courses par exemple. Il est capable de se déplacer de manière autonome en suivant un itinéraire programmé à l'avance. Équipé de capteurs visuels, le robot peut détecter et éviter les obstacles sur son chemin. Il est capable de franchir des pentes allant jusqu'à 16 %.

La figure 1 représente le diagramme de cas d'utilisation du robot.

Le diagramme partiel de la figure 2 permet d'exprimer certaines exigences concernant le robot.

Sous-partie 3 - Transmission de l'information

Le robot communique le niveau de charge de sa batterie à distance à son utilisateur via l'application « MyGita app ».

Le protocole de communication utilisé pour l'envoi de données est l'IPV4. La trame de communication est sous forme de datagramme IP (figure 14).

LT est la longueur totale du datagramme (en-tête IP + DATA) en nombre d'octets. LT est de la forme 0.X avec X le nombre d'octets de l'en-tête + données.

1.17

octets

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot caddie

Le robot caddie Gita est comparable à un coffre intelligent: il suit son propriétaire, qu'il soit à pied ou à vélo. Destiné à un large public, le robot peut s'avérer particulièrement utile pour les personnes à mobilité réduite en les aidant à transporter et stocker leurs courses par exemple. Il est capable de se déplacer de manière autonome en suivant un itinéraire programmé à l'avance. Équipé de capteurs visuels, le robot peut détecter et éviter les obstacles sur son chemin. Il est capable de franchir des pentes allant jusqu'à 16 %.

La figure 1 représente le diagramme de cas d'utilisation du robot.

Le diagramme partiel de la figure 2 permet d'exprimer certaines exigences concernant le robot.

Sous-partie 3 – Validation des performances

1.18

Conclure sur le respect des exigences 1.4.1 et 1.4.2.

Partie 2: Sciences physiques

EXERCICE A – Niveau sonore dans une salle de classe

On s’intéresse à une salle de classe dont le niveau d’intensité sonore ambiant a été mesuré à la valeur $L_{\text{amb}} = 35\text{ dB}$ lorsque les élèves sont totalement silencieux. L’enseignante fait cours, le niveau d’intensité sonore moyen de sa voix est de $70\text{ dB}$ à $1,0\text{ m}$ d’elle. On cherche à savoir si un élève situé au fond de la classe peut suivre le cours correctement.

Données:

seuil théorique d’audition de l’oreille humaine: $I_0 = 1,0 \times 10^{-12}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$;

relation entre le niveau d’intensité sonore $L$ et l’intensité sonore $I$: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$;

l’intensité $I$ d’une onde sonore issue d’une source ponctuelle s’atténue lors de l’éloignement de la source, en vérifiant à une distance $d$ de la source la relation:

$$I = \frac{k}{d^2},$$

où $k$ est une constante qui dépend de la puissance de la source et de la géométrie de son émission;

le dernier rang se trouve à $8,0\text{ m}$ de l’enseignante;

pour que la voix de l’enseignante soit audible et se distingue correctement du bruit ambiant, il faut que son niveau d’intensité sonore soit de $15\text{ dB}$ supérieur au niveau d’intensité sonore du bruit ambiant.

Q1.

À l’aide du texte introductif et des données, montrer que la valeur de l’intensité sonore reçue à $1,0\text{ m}$ de l’enseignante lorsqu’elle parle vaut $I_{1\text{m}} = 1,0 \times 10^{-5}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$.

Q2.

En utilisant la relation fournie dans les données, déduire que la valeur de l’intensité sonore émise par l’enseignante à $8,0\text{ m}$, est environ $I_{8\text{m}} = 1,6 \times 10^{-7}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$.

Q3.

Rappeler comment se nomme ce type d’atténuation sonore.

Q4.

Montrer que le niveau d’intensité sonore de la voix de l’enseignante à $8,0\text{ m}$ vaut environ $L_{8\text{m}} = 52\text{ dB}$ et conclure quant à l’audibilité de la voix de l’enseignante au dernier rang dans cette salle de classe lorsque les élèves sont silencieux.

Les élèves commencent à bavarder, ce qui engendre un surplus d’intensité sonore $I_{\text{bavardage}} = 1,0 \times 10^{-8}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$ qui s’ajoute au bruit ambiant lorsque les élèves étaient silencieux (lorsque le niveau d’intensité sonore valait $35\text{ dB}$).

Q5.

Montrer que le bruit ambiant et les bavardages représentent désormais une intensité sonore d’environ $I_{\text{tot}} = 1,3 \times 10^{-8}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$.

Q6.

L’enseignante ne change pas son niveau d’intensité sonore. Déterminer si l’élève au dernier rang peut encore suivre le cours.

Exercice B – Mission JUICE: percer les secrets des lunes glacées de Jupiter

La mission européenne JUICE s'est envolée le 14 avril 2023 à bord d'une fusée Ariane 5 pour un long voyage de 8 ans. La sonde JUICE va explorer Jupiter et trois de ses plus grands satellites. En décembre 2034, JUICE effectuera son insertion orbitale autour de l'un d'entre eux, Ganymède. L'orbite elliptique initiale de JUICE sera suivie d'une orbite circulaire à $5\,000\text{ km}$ d'altitude, puis d'une orbite circulaire à $500\text{ km}$ d'altitude.

D'après https://reves-d-espace.com/juice-destination-jupiter-et-ses-lunes-glacees/

On se place dans un référentiel « ganymédocentrique » dont l'origine est le centre G de Ganymède et dont les trois axes pointent vers des étoiles lointaines de direction fixes. On suppose que JUICE n'est soumise qu'à la force d'attraction gravitationnelle de Ganymède et est modélisée par son centre de masse J.

L'objectif de cet exercice est de vérifier la cohérence de la description de la mission JUICE fournie en introduction avec les lois de Kepler.

Dans un premier temps on s'intéresse à la phase d'insertion durant laquelle l'orbite de J autour de G est elliptique. Les positions de J sont représentées par des points $\mathrm{J}_1$ et $\mathrm{J}_2$ à deux instants particuliers différents.

Données:

– constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$;

– masse de Ganymède: $M = 1{,}48 \times 10^{23}\text{ kg}$;

– apoastre: point d'une orbite le plus éloigné du centre de masse de l'astre attracteur;

– périastre: point d'une orbite le plus proche du centre de masse de l'astre attracteur.

Q1.

Reproduire sur la copie le schéma de la figure 2 et le compléter avec les mots suivants: demi-grand axe, demi-petit axe, apoastre et périastre.

Q2.

Énoncer la deuxième loi de Kepler puis l'illustrer pour l'orbite de J autour de G en représentant sur le schéma précédent les aires balayées par le rayon vecteur autour des points $\mathrm{J}_1$ et $\mathrm{J}_2$ pendant des intervalles de temps à peu près égaux.

Q3.

Sur le schéma précédent, tracer les vecteurs vitesse en $\mathrm{J}_1$ et $\mathrm{J}_2$, sans souci d'échelle mais en respectant les tailles relatives de ces deux vecteurs.

Dans la suite de l'exercice, on s'intéresse aux orbites circulaires que JUICE effectuera par la suite autour de Ganymède.

Q4.

En appliquant la deuxième loi de Newton à J, donner l'expression vectorielle de son accélération $\vec{a}$ de la sonde dans le repère de Frenet centré sur J en fonction du rayon d'une orbite circulaire $R$, de la masse $M$ de Ganymède et des vecteurs unitaires $(\vec{u}_n, \vec{u}_t)$ de la base de Frenet. On note $m$ la masse de J.

Q5.

En déduire l'expression de la vitesse $v$ de J en fonction de $G$, $M$ et $R$.

Q6.

En déduire l'expression suivante de la troisième loi de Kepler appliquée, pour une orbite circulaire, à J:

$$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$$

avec $T$ la période de révolution de J autour de G.

La sonde JUICE parcourra deux orbites circulaires autour de Ganymède, une orbite lointaine à une distance $R_1 = 5\,000\text{ km}$ et une orbite proche à $R_2 = 500\text{ km}$, pour notamment explorer les fonds océaniques et le champ magnétique de Ganymède.

Q7.

À l'aide de la troisième loi de Kepler, calculer la période de révolution $T_1$ associée à l'orbite de rayon $R_1$ de J.

Q8.

Proposer une méthode permettant de retrouver la valeur de la masse $M$ de Ganymède à partir des mesures qui pourraient être effectuées par la sonde en 2034.

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.