Sujet du Bac Sciences de l'Ingénieur 2026 · Métropole 1

Partie 1 - Sciences de l’ingénieur

Catamaran électrique à foils

Le catamaran électrique à foils est destiné à la navigation de plaisance sur des plans d’eau (rivière, lac et mer) soumis à des vagues de petites dimensions inférieures à 40 cm.

Ce catamaran étant destiné à la location et devant être pilotable par des personnes ne disposant pas du permis bateau, la puissance du moteur est limitée à 6 chevaux-vapeur.

Un foil est une aile fixée sous la coque, qui a pour rôle de soulever le bateau. Quand le bateau accélère, le foil crée une force (la portance) qui soulève progressivement la coque au-dessus de l’eau: ce phénomène est appelé le déjaugeage. Grâce à ce déjaugeage, le bateau vole presque au-dessus de l’eau, ce qui réduit sa traînée et permet donc de diminuer sa consommation.

Les foils, en levant le catamaran au-dessus des flots, permettent une vitesse de déplacement jusqu’à 15 nœuds procurant une sensation de vitesse satisfaisante. La propulsion électrique permet une navigation sans bruit.

Le catamaran est entièrement automatisé pour stabiliser la hauteur de vol et l’assiette.

Le catamaran est composé de plusieurs éléments (figure 1) permettant d’assurer notamment la flottaison, le vol, la stabilité et la direction.

Le catamaran est propulsé par un moteur électrique couplé à une hélice.

L’alimentation en énergie du bateau est assurée par une batterie située sous le siège. Elle est extractible pour permettre sa recharge sur la terre ferme.

Le vol est assuré par trois foils, deux foils avant et un foil arrière.

Pour pouvoir piloter le bateau, l’utilisateur dispose d’un volant pour la direction et d’une gâchette pour la vitesse. La transmission des données se fait par une liaison sans fil. Seul le mât de foil arrière est orientable pour gérer le cap du bateau.

La stabilité du catamaran, aussi bien dans le maintien de la hauteur de vol que dans l’assiette horizontale, est gérée par la modification de la portance des foils avant et arrière (figure 2).

Les deux foils avant peuvent basculer individuellement face au courant pour modifier le coefficient de portance. La modification de portance du foil arrière est réalisée par deux volets indépendants et orientables.

Le diagramme partiel des exigences (figure 3) permet de préciser certaines des capacités du catamaran.

Sous-partie 1

Capacité de vol du catamaran et stabilité

L’objectif de cette sous-partie est de vérifier les capacités de vol du catamaran et sa stabilité.

Dans cette première partie, l’étude du vol du catamaran est étudiée, que ce soit pour le déjaugeage ou pour la stabilité du vol. Le déjaugeage est un changement de régime de l’avancement d’un objet dans l’eau, d’un régime archimédien (l’objet flotte par poussée d’Archimède) à un régime dynamique où sa vitesse lui permet d’être porté par ses foils.

Les phases de navigation (figure 4) sont au nombre de trois. La première phase concerne le catamaran à l’arrêt ou à faible vitesse. La coque est dans l’eau et la flottaison est principalement assurée par la poussée d’Archimède. La deuxième phase est caractérisée par une vitesse du bateau suffisamment grande pour que les foils le soulèvent. C’est la phase normale de navigation: la coque étant hors de l’eau, la force de traînée de celle-ci devient très faible, et permet une navigation avec une consommation d’énergie minimale. La troisième phase correspond à un fonctionnement dégradé. Le foil se situe à la surface de l’eau et fournit une force de portance instable: elle existe quand le foil est dans l’eau, elle s’annule quand le foil est dans l’air.

Le profil des foils en déplacement dans un courant d’eau crée deux actions mécaniques (figure 5): une force de traînée qui freine le déplacement de l’embarcation et une force de portance qui la soulève. Les forces de traînée et de portance sont définies par les relations:

$$F_x = \frac{1}{2}\cdot \gamma\cdot S\cdot C_x\cdot V^2 \quad\text{et}\quad F_z = \frac{1}{2}\cdot \gamma\cdot S\cdot C_z\cdot V^2 \quad\text{avec:}$$

$F_x$ et $F_z$, forces de traînée et de portance ($\text{N}$);

$\gamma$, masse volumique de l’eau ($\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$);

$S$, surface alaire du foil ($\text{m}^2$);

$C_x$ et $C_z$, coefficients de traînée et de portance;

$V$, vitesse relative du fluide par rapport au catamaran ($\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$).

Une étude est menée pour valider le déjaugeage du catamaran. Le schéma du document réponse DR1 représente le catamaran avec son pilote, dans la phase 2, coque complètement sortie de l’eau.

Hypothèses:

le repère $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ est considéré galiléen;

l’étude est menée dans le cas d’un problème plan $(O, \vec{z}, \vec{x})$;

l’ensemble $E = \{\text{bateau} + \text{pilote}\}$ se déplace à vitesse constante de 8 nœuds;

l’effet de l’air est considéré négligeable comparé aux autres efforts;

le point $G$ est le centre de gravité de l’ensemble $E$;

la masse du bateau est $m_B = 100\text{ kg}$, celle du pilote $m_P = 90\text{ kg}$, l’accélération de la pesanteur $g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$;

le point $C$ est le centre de poussée de l’hélice, où s’applique la force $\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}} = \|\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}}\|\cdot \vec{x}$ avec $\|\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}}\| = 1\,200\text{ N}$;

la surface alaire d’un foil avant $S_{\text{avant}}$ est de $0{,}08\text{ m}^2$, son coefficient de portance $C_z$ de $0{,}8$;

la surface alaire du foil arrière $S_{\text{arrière}}$ est de $0{,}12\text{ m}^2$, son coefficient de portance $C_z$ de $0{,}8$.

En réalité, l’étude du déjaugeage du catamaran est plus complexe. Plusieurs étapes se succèdent avant stabilisation du catamaran. Lors de l’accélération de l’embarcation, la portance des foils augmente progressivement sans provoquer la sortie de la coque de l’eau. Lorsque le bateau a acquis une vitesse suffisante, la portance ayant augmenté, le déjaugeage s’opère et la profondeur d’immersion du foil diminue. La dernière étape consiste à stabiliser le vol. En effet, pour un confort optimal de navigation, la profondeur d’immersion du foil (figure 4) doit se situer à 300 mm sous la surface libre de l’eau pour éviter les perturbations liées aux vaguelettes et au clapot. Le foil ne doit pas se situer en surface sous peine d’être soumis à des chocs successifs dans les vagues, rendant le vol inconfortable.

Un modèle multi-physique (figure 6) a été conçu. Il permet de simuler le décollage et le début de stabilisation du vol. Il intègre la vitesse de déplacement, le poids, la poussée d’Archimède et la force résultant de la portance des foils. Pour régler la hauteur de vol, un asservissement sur l’orientation des foils est mis en place. La variation d’orientation permet d’augmenter ou diminuer le coefficient de portance.

La figure 7 fournit la réponse du système pour trois correcteurs différents.

L’orientation des volets du foil arrière ou l’orientation des foils avant permettent de stabiliser également l’horizontalité. La variation de portance en « + » correspond à une augmentation de la portance, la variation en « - » à une diminution.

Question 1.1 À partir de la figure 3, relever la vitesse minimale de déjaugeage annoncée par le constructeur en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ et la masse totale en $\text{kg}$ de l'embarcation avec son pilote.

Pour rappel, le nœud est une unité de vitesse utilisée pour les bateaux: $1\text{ nd} = 1{,}852\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}$.

a)

m·s⁻¹

b)

kg

Partie 1 - Sciences de l’ingénieur

Catamaran électrique à foils

Le catamaran électrique à foils est destiné à la navigation de plaisance sur des plans d’eau (rivière, lac et mer) soumis à des vagues de petites dimensions inférieures à 40 cm.

Ce catamaran étant destiné à la location et devant être pilotable par des personnes ne disposant pas du permis bateau, la puissance du moteur est limitée à 6 chevaux-vapeur.

Un foil est une aile fixée sous la coque, qui a pour rôle de soulever le bateau. Quand le bateau accélère, le foil crée une force (la portance) qui soulève progressivement la coque au-dessus de l’eau: ce phénomène est appelé le déjaugeage. Grâce à ce déjaugeage, le bateau vole presque au-dessus de l’eau, ce qui réduit sa traînée et permet donc de diminuer sa consommation.

Les foils, en levant le catamaran au-dessus des flots, permettent une vitesse de déplacement jusqu’à 15 nœuds procurant une sensation de vitesse satisfaisante. La propulsion électrique permet une navigation sans bruit.

Le catamaran est entièrement automatisé pour stabiliser la hauteur de vol et l’assiette.

Le catamaran est composé de plusieurs éléments (figure 1) permettant d’assurer notamment la flottaison, le vol, la stabilité et la direction.

Le catamaran est propulsé par un moteur électrique couplé à une hélice.

L’alimentation en énergie du bateau est assurée par une batterie située sous le siège. Elle est extractible pour permettre sa recharge sur la terre ferme.

Le vol est assuré par trois foils, deux foils avant et un foil arrière.

Pour pouvoir piloter le bateau, l’utilisateur dispose d’un volant pour la direction et d’une gâchette pour la vitesse. La transmission des données se fait par une liaison sans fil. Seul le mât de foil arrière est orientable pour gérer le cap du bateau.

La stabilité du catamaran, aussi bien dans le maintien de la hauteur de vol que dans l’assiette horizontale, est gérée par la modification de la portance des foils avant et arrière (figure 2).

Les deux foils avant peuvent basculer individuellement face au courant pour modifier le coefficient de portance. La modification de portance du foil arrière est réalisée par deux volets indépendants et orientables.

Le diagramme partiel des exigences (figure 3) permet de préciser certaines des capacités du catamaran.

Sous-partie 1

Capacité de vol du catamaran et stabilité

L’objectif de cette sous-partie est de vérifier les capacités de vol du catamaran et sa stabilité.

Dans cette première partie, l’étude du vol du catamaran est étudiée, que ce soit pour le déjaugeage ou pour la stabilité du vol. Le déjaugeage est un changement de régime de l’avancement d’un objet dans l’eau, d’un régime archimédien (l’objet flotte par poussée d’Archimède) à un régime dynamique où sa vitesse lui permet d’être porté par ses foils.

Les phases de navigation (figure 4) sont au nombre de trois. La première phase concerne le catamaran à l’arrêt ou à faible vitesse. La coque est dans l’eau et la flottaison est principalement assurée par la poussée d’Archimède. La deuxième phase est caractérisée par une vitesse du bateau suffisamment grande pour que les foils le soulèvent. C’est la phase normale de navigation: la coque étant hors de l’eau, la force de traînée de celle-ci devient très faible, et permet une navigation avec une consommation d’énergie minimale. La troisième phase correspond à un fonctionnement dégradé. Le foil se situe à la surface de l’eau et fournit une force de portance instable: elle existe quand le foil est dans l’eau, elle s’annule quand le foil est dans l’air.

Le profil des foils en déplacement dans un courant d’eau crée deux actions mécaniques (figure 5): une force de traînée qui freine le déplacement de l’embarcation et une force de portance qui la soulève. Les forces de traînée et de portance sont définies par les relations:

$$F_x = \frac{1}{2}\cdot \gamma\cdot S\cdot C_x\cdot V^2 \quad\text{et}\quad F_z = \frac{1}{2}\cdot \gamma\cdot S\cdot C_z\cdot V^2 \quad\text{avec:}$$

$F_x$ et $F_z$, forces de traînée et de portance ($\text{N}$);

$\gamma$, masse volumique de l’eau ($\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$);

$S$, surface alaire du foil ($\text{m}^2$);

$C_x$ et $C_z$, coefficients de traînée et de portance;

$V$, vitesse relative du fluide par rapport au catamaran ($\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$).

Une étude est menée pour valider le déjaugeage du catamaran. Le schéma du document réponse DR1 représente le catamaran avec son pilote, dans la phase 2, coque complètement sortie de l’eau.

Hypothèses:

le repère $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ est considéré galiléen;

l’étude est menée dans le cas d’un problème plan $(O, \vec{z}, \vec{x})$;

l’ensemble $E = \{\text{bateau} + \text{pilote}\}$ se déplace à vitesse constante de 8 nœuds;

l’effet de l’air est considéré négligeable comparé aux autres efforts;

le point $G$ est le centre de gravité de l’ensemble $E$;

la masse du bateau est $m_B = 100\text{ kg}$, celle du pilote $m_P = 90\text{ kg}$, l’accélération de la pesanteur $g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$;

le point $C$ est le centre de poussée de l’hélice, où s’applique la force $\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}} = \|\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}}\|\cdot \vec{x}$ avec $\|\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}}\| = 1\,200\text{ N}$;

la surface alaire d’un foil avant $S_{\text{avant}}$ est de $0{,}08\text{ m}^2$, son coefficient de portance $C_z$ de $0{,}8$;

la surface alaire du foil arrière $S_{\text{arrière}}$ est de $0{,}12\text{ m}^2$, son coefficient de portance $C_z$ de $0{,}8$.

En réalité, l’étude du déjaugeage du catamaran est plus complexe. Plusieurs étapes se succèdent avant stabilisation du catamaran. Lors de l’accélération de l’embarcation, la portance des foils augmente progressivement sans provoquer la sortie de la coque de l’eau. Lorsque le bateau a acquis une vitesse suffisante, la portance ayant augmenté, le déjaugeage s’opère et la profondeur d’immersion du foil diminue. La dernière étape consiste à stabiliser le vol. En effet, pour un confort optimal de navigation, la profondeur d’immersion du foil (figure 4) doit se situer à 300 mm sous la surface libre de l’eau pour éviter les perturbations liées aux vaguelettes et au clapot. Le foil ne doit pas se situer en surface sous peine d’être soumis à des chocs successifs dans les vagues, rendant le vol inconfortable.

Un modèle multi-physique (figure 6) a été conçu. Il permet de simuler le décollage et le début de stabilisation du vol. Il intègre la vitesse de déplacement, le poids, la poussée d’Archimède et la force résultant de la portance des foils. Pour régler la hauteur de vol, un asservissement sur l’orientation des foils est mis en place. La variation d’orientation permet d’augmenter ou diminuer le coefficient de portance.

La figure 7 fournit la réponse du système pour trois correcteurs différents.

L’orientation des volets du foil arrière ou l’orientation des foils avant permettent de stabiliser également l’horizontalité. La variation de portance en « + » correspond à une augmentation de la portance, la variation en « - » à une diminution.

Question 1.2

Tracer sur le document réponse DR1 les directions et les sens des actions mécaniques s'appliquant sur l'ensemble E, en les nommant. À partir du théorème de la résultante dynamique en projection sur $\vec{z}$, montrer que la vitesse de déjaugeage est donnée par la relation:

$$V_{\text{déj}} = \sqrt{\frac{(m_B + m_P) \cdot g}{\gamma \cdot C_z \cdot \left(S_{\text{avant}} + \frac{1}{2} S_{\text{arrière}}\right)}}$$

Calculer $V_{\text{déj}}$ et conclure sur la vitesse de déjaugeage annoncée.

Question 1.4

Compléter sur le DR1, par des signes « + » et « - », le sens de basculement du catamaran et la variation de profondeur d'immersion en fonction de l'orientation des foils.

Variation de portance foil arrière

Variation de portance foils avant

Variation de profondeur d'immersion

Sens de basculement

-

-

-

—

-

+

—

+

-

—

+

+

—

Partie 1 - Sciences de l’ingénieur

Catamaran électrique à foils

Le catamaran électrique à foils est destiné à la navigation de plaisance sur des plans d’eau (rivière, lac et mer) soumis à des vagues de petites dimensions inférieures à 40 cm.

Ce catamaran étant destiné à la location et devant être pilotable par des personnes ne disposant pas du permis bateau, la puissance du moteur est limitée à 6 chevaux-vapeur.

Un foil est une aile fixée sous la coque, qui a pour rôle de soulever le bateau. Quand le bateau accélère, le foil crée une force (la portance) qui soulève progressivement la coque au-dessus de l’eau: ce phénomène est appelé le déjaugeage. Grâce à ce déjaugeage, le bateau vole presque au-dessus de l’eau, ce qui réduit sa traînée et permet donc de diminuer sa consommation.

Les foils, en levant le catamaran au-dessus des flots, permettent une vitesse de déplacement jusqu’à 15 nœuds procurant une sensation de vitesse satisfaisante. La propulsion électrique permet une navigation sans bruit.

Le catamaran est entièrement automatisé pour stabiliser la hauteur de vol et l’assiette.

Le catamaran est composé de plusieurs éléments (figure 1) permettant d’assurer notamment la flottaison, le vol, la stabilité et la direction.

Le catamaran est propulsé par un moteur électrique couplé à une hélice.

L’alimentation en énergie du bateau est assurée par une batterie située sous le siège. Elle est extractible pour permettre sa recharge sur la terre ferme.

Le vol est assuré par trois foils, deux foils avant et un foil arrière.

Pour pouvoir piloter le bateau, l’utilisateur dispose d’un volant pour la direction et d’une gâchette pour la vitesse. La transmission des données se fait par une liaison sans fil. Seul le mât de foil arrière est orientable pour gérer le cap du bateau.

La stabilité du catamaran, aussi bien dans le maintien de la hauteur de vol que dans l’assiette horizontale, est gérée par la modification de la portance des foils avant et arrière (figure 2).

Les deux foils avant peuvent basculer individuellement face au courant pour modifier le coefficient de portance. La modification de portance du foil arrière est réalisée par deux volets indépendants et orientables.

Le diagramme partiel des exigences (figure 3) permet de préciser certaines des capacités du catamaran.

Sous-partie 1

Capacité de vol du catamaran et stabilité

L’objectif de cette sous-partie est de vérifier les capacités de vol du catamaran et sa stabilité.

Dans cette première partie, l’étude du vol du catamaran est étudiée, que ce soit pour le déjaugeage ou pour la stabilité du vol. Le déjaugeage est un changement de régime de l’avancement d’un objet dans l’eau, d’un régime archimédien (l’objet flotte par poussée d’Archimède) à un régime dynamique où sa vitesse lui permet d’être porté par ses foils.

Les phases de navigation (figure 4) sont au nombre de trois. La première phase concerne le catamaran à l’arrêt ou à faible vitesse. La coque est dans l’eau et la flottaison est principalement assurée par la poussée d’Archimède. La deuxième phase est caractérisée par une vitesse du bateau suffisamment grande pour que les foils le soulèvent. C’est la phase normale de navigation: la coque étant hors de l’eau, la force de traînée de celle-ci devient très faible, et permet une navigation avec une consommation d’énergie minimale. La troisième phase correspond à un fonctionnement dégradé. Le foil se situe à la surface de l’eau et fournit une force de portance instable: elle existe quand le foil est dans l’eau, elle s’annule quand le foil est dans l’air.

Le profil des foils en déplacement dans un courant d’eau crée deux actions mécaniques (figure 5): une force de traînée qui freine le déplacement de l’embarcation et une force de portance qui la soulève. Les forces de traînée et de portance sont définies par les relations:

$$F_x = \frac{1}{2}\cdot \gamma\cdot S\cdot C_x\cdot V^2 \quad\text{et}\quad F_z = \frac{1}{2}\cdot \gamma\cdot S\cdot C_z\cdot V^2 \quad\text{avec:}$$

$F_x$ et $F_z$, forces de traînée et de portance ($\text{N}$);

$\gamma$, masse volumique de l’eau ($\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$);

$S$, surface alaire du foil ($\text{m}^2$);

$C_x$ et $C_z$, coefficients de traînée et de portance;

$V$, vitesse relative du fluide par rapport au catamaran ($\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$).

Une étude est menée pour valider le déjaugeage du catamaran. Le schéma du document réponse DR1 représente le catamaran avec son pilote, dans la phase 2, coque complètement sortie de l’eau.

Hypothèses:

le repère $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ est considéré galiléen;

l’étude est menée dans le cas d’un problème plan $(O, \vec{z}, \vec{x})$;

l’ensemble $E = \{\text{bateau} + \text{pilote}\}$ se déplace à vitesse constante de 8 nœuds;

l’effet de l’air est considéré négligeable comparé aux autres efforts;

le point $G$ est le centre de gravité de l’ensemble $E$;

la masse du bateau est $m_B = 100\text{ kg}$, celle du pilote $m_P = 90\text{ kg}$, l’accélération de la pesanteur $g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$;

le point $C$ est le centre de poussée de l’hélice, où s’applique la force $\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}} = \|\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}}\|\cdot \vec{x}$ avec $\|\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}}\| = 1\,200\text{ N}$;

la surface alaire d’un foil avant $S_{\text{avant}}$ est de $0{,}08\text{ m}^2$, son coefficient de portance $C_z$ de $0{,}8$;

la surface alaire du foil arrière $S_{\text{arrière}}$ est de $0{,}12\text{ m}^2$, son coefficient de portance $C_z$ de $0{,}8$.

En réalité, l’étude du déjaugeage du catamaran est plus complexe. Plusieurs étapes se succèdent avant stabilisation du catamaran. Lors de l’accélération de l’embarcation, la portance des foils augmente progressivement sans provoquer la sortie de la coque de l’eau. Lorsque le bateau a acquis une vitesse suffisante, la portance ayant augmenté, le déjaugeage s’opère et la profondeur d’immersion du foil diminue. La dernière étape consiste à stabiliser le vol. En effet, pour un confort optimal de navigation, la profondeur d’immersion du foil (figure 4) doit se situer à 300 mm sous la surface libre de l’eau pour éviter les perturbations liées aux vaguelettes et au clapot. Le foil ne doit pas se situer en surface sous peine d’être soumis à des chocs successifs dans les vagues, rendant le vol inconfortable.

Un modèle multi-physique (figure 6) a été conçu. Il permet de simuler le décollage et le début de stabilisation du vol. Il intègre la vitesse de déplacement, le poids, la poussée d’Archimède et la force résultant de la portance des foils. Pour régler la hauteur de vol, un asservissement sur l’orientation des foils est mis en place. La variation d’orientation permet d’augmenter ou diminuer le coefficient de portance.

La figure 7 fournit la réponse du système pour trois correcteurs différents.

L’orientation des volets du foil arrière ou l’orientation des foils avant permettent de stabiliser également l’horizontalité. La variation de portance en « + » correspond à une augmentation de la portance, la variation en « - » à une diminution.

Question 1.3 — Déterminer le meilleur choix de correcteur pour le déjaugeage et la stabilisation du vol. Justifier ce choix.

Partie 1 - Sciences de l’ingénieur

Catamaran électrique à foils

Le catamaran électrique à foils est destiné à la navigation de plaisance sur des plans d’eau (rivière, lac et mer) soumis à des vagues de petites dimensions inférieures à 40 cm.

Ce catamaran étant destiné à la location et devant être pilotable par des personnes ne disposant pas du permis bateau, la puissance du moteur est limitée à 6 chevaux-vapeur.

Un foil est une aile fixée sous la coque, qui a pour rôle de soulever le bateau. Quand le bateau accélère, le foil crée une force (la portance) qui soulève progressivement la coque au-dessus de l’eau: ce phénomène est appelé le déjaugeage. Grâce à ce déjaugeage, le bateau vole presque au-dessus de l’eau, ce qui réduit sa traînée et permet donc de diminuer sa consommation.

Les foils, en levant le catamaran au-dessus des flots, permettent une vitesse de déplacement jusqu’à 15 nœuds procurant une sensation de vitesse satisfaisante. La propulsion électrique permet une navigation sans bruit.

Le catamaran est entièrement automatisé pour stabiliser la hauteur de vol et l’assiette.

Le catamaran est composé de plusieurs éléments (figure 1) permettant d’assurer notamment la flottaison, le vol, la stabilité et la direction.

Le catamaran est propulsé par un moteur électrique couplé à une hélice.

L’alimentation en énergie du bateau est assurée par une batterie située sous le siège. Elle est extractible pour permettre sa recharge sur la terre ferme.

Le vol est assuré par trois foils, deux foils avant et un foil arrière.

Pour pouvoir piloter le bateau, l’utilisateur dispose d’un volant pour la direction et d’une gâchette pour la vitesse. La transmission des données se fait par une liaison sans fil. Seul le mât de foil arrière est orientable pour gérer le cap du bateau.

La stabilité du catamaran, aussi bien dans le maintien de la hauteur de vol que dans l’assiette horizontale, est gérée par la modification de la portance des foils avant et arrière (figure 2).

Les deux foils avant peuvent basculer individuellement face au courant pour modifier le coefficient de portance. La modification de portance du foil arrière est réalisée par deux volets indépendants et orientables.

Le diagramme partiel des exigences (figure 3) permet de préciser certaines des capacités du catamaran.

Sous-partie 1

Capacité de vol du catamaran et stabilité

L’objectif de cette sous-partie est de vérifier les capacités de vol du catamaran et sa stabilité.

Dans cette première partie, l’étude du vol du catamaran est étudiée, que ce soit pour le déjaugeage ou pour la stabilité du vol. Le déjaugeage est un changement de régime de l’avancement d’un objet dans l’eau, d’un régime archimédien (l’objet flotte par poussée d’Archimède) à un régime dynamique où sa vitesse lui permet d’être porté par ses foils.

Les phases de navigation (figure 4) sont au nombre de trois. La première phase concerne le catamaran à l’arrêt ou à faible vitesse. La coque est dans l’eau et la flottaison est principalement assurée par la poussée d’Archimède. La deuxième phase est caractérisée par une vitesse du bateau suffisamment grande pour que les foils le soulèvent. C’est la phase normale de navigation: la coque étant hors de l’eau, la force de traînée de celle-ci devient très faible, et permet une navigation avec une consommation d’énergie minimale. La troisième phase correspond à un fonctionnement dégradé. Le foil se situe à la surface de l’eau et fournit une force de portance instable: elle existe quand le foil est dans l’eau, elle s’annule quand le foil est dans l’air.

Le profil des foils en déplacement dans un courant d’eau crée deux actions mécaniques (figure 5): une force de traînée qui freine le déplacement de l’embarcation et une force de portance qui la soulève. Les forces de traînée et de portance sont définies par les relations:

$$F_x = \frac{1}{2}\cdot \gamma\cdot S\cdot C_x\cdot V^2 \quad\text{et}\quad F_z = \frac{1}{2}\cdot \gamma\cdot S\cdot C_z\cdot V^2 \quad\text{avec:}$$

$F_x$ et $F_z$, forces de traînée et de portance ($\text{N}$);

$\gamma$, masse volumique de l’eau ($\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$);

$S$, surface alaire du foil ($\text{m}^2$);

$C_x$ et $C_z$, coefficients de traînée et de portance;

$V$, vitesse relative du fluide par rapport au catamaran ($\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$).

Une étude est menée pour valider le déjaugeage du catamaran. Le schéma du document réponse DR1 représente le catamaran avec son pilote, dans la phase 2, coque complètement sortie de l’eau.

Hypothèses:

le repère $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ est considéré galiléen;

l’étude est menée dans le cas d’un problème plan $(O, \vec{z}, \vec{x})$;

l’ensemble $E = \{\text{bateau} + \text{pilote}\}$ se déplace à vitesse constante de 8 nœuds;

l’effet de l’air est considéré négligeable comparé aux autres efforts;

le point $G$ est le centre de gravité de l’ensemble $E$;

la masse du bateau est $m_B = 100\text{ kg}$, celle du pilote $m_P = 90\text{ kg}$, l’accélération de la pesanteur $g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$;

le point $C$ est le centre de poussée de l’hélice, où s’applique la force $\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}} = \|\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}}\|\cdot \vec{x}$ avec $\|\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}}\| = 1\,200\text{ N}$;

la surface alaire d’un foil avant $S_{\text{avant}}$ est de $0{,}08\text{ m}^2$, son coefficient de portance $C_z$ de $0{,}8$;

la surface alaire du foil arrière $S_{\text{arrière}}$ est de $0{,}12\text{ m}^2$, son coefficient de portance $C_z$ de $0{,}8$.

En réalité, l’étude du déjaugeage du catamaran est plus complexe. Plusieurs étapes se succèdent avant stabilisation du catamaran. Lors de l’accélération de l’embarcation, la portance des foils augmente progressivement sans provoquer la sortie de la coque de l’eau. Lorsque le bateau a acquis une vitesse suffisante, la portance ayant augmenté, le déjaugeage s’opère et la profondeur d’immersion du foil diminue. La dernière étape consiste à stabiliser le vol. En effet, pour un confort optimal de navigation, la profondeur d’immersion du foil (figure 4) doit se situer à 300 mm sous la surface libre de l’eau pour éviter les perturbations liées aux vaguelettes et au clapot. Le foil ne doit pas se situer en surface sous peine d’être soumis à des chocs successifs dans les vagues, rendant le vol inconfortable.

Un modèle multi-physique (figure 6) a été conçu. Il permet de simuler le décollage et le début de stabilisation du vol. Il intègre la vitesse de déplacement, le poids, la poussée d’Archimède et la force résultant de la portance des foils. Pour régler la hauteur de vol, un asservissement sur l’orientation des foils est mis en place. La variation d’orientation permet d’augmenter ou diminuer le coefficient de portance.

La figure 7 fournit la réponse du système pour trois correcteurs différents.

L’orientation des volets du foil arrière ou l’orientation des foils avant permettent de stabiliser également l’horizontalité. La variation de portance en « + » correspond à une augmentation de la portance, la variation en « - » à une diminution.

Question 1.5 — Conclure sur les capacités de vol et de stabilisation du catamaran.

Sous-partie 2 – Autonomie du bateau

L'objectif de cette sous-partie est de vérifier l'exigence d'autonomie de l'embarcation ainsi que le programme d'alerte du niveau de charge de la batterie.

Le diagramme partiel des exigences permet de préciser certaines des capacités du catamaran:

Un essai en condition réelle a permis de mesurer la consommation du moteur en fonction de la vitesse:

Afin d'optimiser la durée de vie de la batterie, il est préconisé de limiter la décharge à 80 % de sa capacité nominale de charge (profondeur de décharge).

Pour informer l'usager du niveau de charge de la batterie, le système mesure sa tension à l'aide de la chaîne d'acquisition suivante:

La caractéristique de la tension de sortie de la batterie en fonction de la charge est représentée sur la figure 10. Le conditionneur permet d'adapter la tension batterie à la tension de référence de 5 V du convertisseur analogique numérique (CAN). Il est réalisé à l'aide d'un pont diviseur de tension (figure 11).

Le convertisseur analogique numérique (CAN) convertit la tension $U_{\mathrm{CAN}}$ en une valeur numérique $N_{\mathrm{BAT}}$.

Pour éviter un arrêt de l'embarcation en pleine mer, il est nécessaire d'alerter l'utilisateur lorsque la batterie atteint 50 % de charge puis quand elle atteint 30 %.

Sous-partie 2 – Autonomie du bateau

Question 1.6. Extraire du diagramme des exigences (figure 3) l'autonomie attendue à la vitesse de 10 nœuds ainsi que l'énergie stockée dans la batterie.

Sous-partie 2 – Autonomie du bateau

L'objectif de cette sous-partie est de vérifier l'exigence d'autonomie de l'embarcation ainsi que le programme d'alerte du niveau de charge de la batterie.

Le diagramme partiel des exigences permet de préciser certaines des capacités du catamaran:

Un essai en condition réelle a permis de mesurer la consommation du moteur en fonction de la vitesse:

Afin d'optimiser la durée de vie de la batterie, il est préconisé de limiter la décharge à 80 % de sa capacité nominale de charge (profondeur de décharge).

Pour informer l'usager du niveau de charge de la batterie, le système mesure sa tension à l'aide de la chaîne d'acquisition suivante:

La caractéristique de la tension de sortie de la batterie en fonction de la charge est représentée sur la figure 10. Le conditionneur permet d'adapter la tension batterie à la tension de référence de 5 V du convertisseur analogique numérique (CAN). Il est réalisé à l'aide d'un pont diviseur de tension (figure 11).

Le convertisseur analogique numérique (CAN) convertit la tension $U_{\mathrm{CAN}}$ en une valeur numérique $N_{\mathrm{BAT}}$.

Pour éviter un arrêt de l'embarcation en pleine mer, il est nécessaire d'alerter l'utilisateur lorsque la batterie atteint 50 % de charge puis quand elle atteint 30 %.

Sous-partie 2 – Autonomie du bateau

1.7

Expliquer le décrochage de la consommation sur la courbe de la figure 8 à la vitesse de 8 nœuds. Relever sur la courbe la consommation du moteur à la vitesse de 10 nœuds.

Afin d'optimiser la durée de vie de la batterie, il est préconisé de limiter la décharge à 80 % de sa capacité nominale de charge (profondeur de décharge).

1.8

En tenant compte de la profondeur de décharge et en négligeant la consommation pendant la phase de déjaugeage, calculer l'autonomie en heures de l'embarcation à la vitesse de 10 nœuds. Conclure par rapport à l'exigence du constructeur.

Sous-partie 2 – Autonomie du bateau

L'objectif de cette sous-partie est de vérifier l'exigence d'autonomie de l'embarcation ainsi que le programme d'alerte du niveau de charge de la batterie.

Le diagramme partiel des exigences permet de préciser certaines des capacités du catamaran:

Un essai en condition réelle a permis de mesurer la consommation du moteur en fonction de la vitesse:

Afin d'optimiser la durée de vie de la batterie, il est préconisé de limiter la décharge à 80 % de sa capacité nominale de charge (profondeur de décharge).

Pour informer l'usager du niveau de charge de la batterie, le système mesure sa tension à l'aide de la chaîne d'acquisition suivante:

La caractéristique de la tension de sortie de la batterie en fonction de la charge est représentée sur la figure 10. Le conditionneur permet d'adapter la tension batterie à la tension de référence de 5 V du convertisseur analogique numérique (CAN). Il est réalisé à l'aide d'un pont diviseur de tension (figure 11).

Le convertisseur analogique numérique (CAN) convertit la tension $U_{\mathrm{CAN}}$ en une valeur numérique $N_{\mathrm{BAT}}$.

Pour éviter un arrêt de l'embarcation en pleine mer, il est nécessaire d'alerter l'utilisateur lorsque la batterie atteint 50 % de charge puis quand elle atteint 30 %.

1.9

À l'aide du schéma électrique (figure 11), montrer que $U_{CAN} = 0{,}083\cdot U_{BAT}$, puis justifier à l'aide de la caractéristique de la batterie (figure 10) que le choix de $R_1$ et $R_2$ permet à $U_{CAN}$ de ne pas dépasser la tension d'alimentation du CAN.

1.10

Le convertisseur analogique numérique (CAN) convertit la tension $U_{CAN}$ en une valeur numérique $N_{BAT}$.

Pour éviter un arrêt de l'embarcation en pleine mer, il est nécessaire d'alerter l'utilisateur lorsque la batterie atteint 50 % de charge puis quand elle atteint 30 %.

Déterminer la valeur du quantum $q$ en Volt (V) du convertisseur analogique numérique (CAN).

V

Compléter le tableau du document réponse DR2 à l'aide de la caractéristique de la batterie (figure 10).

Document réponse DR2 – Question 1.10 Charge de la batterie · Tension batterie $U_{BAT}$ · Tension entrée CAN $U_{CAN}$ · Valeur sortie du CAN $N_{CAN}$

100 % · 56 V · 4,66 V · 953

50 % · V

· V

30 % · V

· V

Sous-partie 2 – Autonomie du bateau

L'objectif de cette sous-partie est de vérifier l'exigence d'autonomie de l'embarcation ainsi que le programme d'alerte du niveau de charge de la batterie.

Le diagramme partiel des exigences permet de préciser certaines des capacités du catamaran:

Un essai en condition réelle a permis de mesurer la consommation du moteur en fonction de la vitesse:

Afin d'optimiser la durée de vie de la batterie, il est préconisé de limiter la décharge à 80 % de sa capacité nominale de charge (profondeur de décharge).

Pour informer l'usager du niveau de charge de la batterie, le système mesure sa tension à l'aide de la chaîne d'acquisition suivante:

La caractéristique de la tension de sortie de la batterie en fonction de la charge est représentée sur la figure 10. Le conditionneur permet d'adapter la tension batterie à la tension de référence de 5 V du convertisseur analogique numérique (CAN). Il est réalisé à l'aide d'un pont diviseur de tension (figure 11).

Le convertisseur analogique numérique (CAN) convertit la tension $U_{\mathrm{CAN}}$ en une valeur numérique $N_{\mathrm{BAT}}$.

Pour éviter un arrêt de l'embarcation en pleine mer, il est nécessaire d'alerter l'utilisateur lorsque la batterie atteint 50 % de charge puis quand elle atteint 30 %.

Question 1.11: Compléter le programme Python ci-dessous (issu du document réponse DR2) permettant d'alerter l'utilisateur pour ces deux seuils (50 % puis 30 % de charge). Conclure sur la capacité du système à alerter l'utilisateur.

def testBatterie():

"""

Informe l'utilisateur que la charge batterie passe

sous les seuils de 50 % puis 30 %

Valeurs globales:

N30: valeur en sortie du CAN pour 30 % de charge

N50: valeur en sortie du CAN pour 50 % de charge

"""

Ncan = can.read() #acquisition de tension batterie

if Ncan <=

:

afficherMessage("Charge inférieure à 30 %")

elif

:

afficherMessage("

")

else:

afficherMessage("Batterie suffisamment chargée")

Sous-partie 3

Contrôle de la direction

L'objectif de cette sous-partie est de valider la chaine d'acquisition de l'angle du volant ainsi que la transmission sans fil de cette mesure.

Le poste de pilotage permet à l'utilisateur de choisir sa vitesse, sa direction et de visualiser différentes informations sur un écran, notamment le niveau de batterie et la vitesse. Le diagramme partiel des exigences de la partie pilotage est présenté figure 12.

Le volant, manœuvré par le pilote, entraîne un système poulies-courroie. La poulie réceptrice est reliée à un codeur incrémental qui génère 100 impulsions par tour. Ces impulsions sont comptées par un microcontrôleur, qui fournit une information de direction sous la forme d'un entier codé sur 8 bits, image de la position du volant. Cette information est ensuite transmise via une liaison sans fil à l'unité arrière. Celle-ci contrôle un vérin qui oriente le moteur électrique, permettant ainsi de diriger le bateau. La figure 13 illustre cette chaine d'acquisition de l'angle volant.

Pour compter les impulsions, il est nécessaire de connaître le sens de rotation du volant. Ce sens permet de déterminer s'il faut incrémenter ou décrémenter le compteur d'impulsions Nvolant. Pour cela, le codeur incrémental fournit deux trains d'impulsions décalées d'un quart de période (figures 14 et 15).

Le codeur incrémental est composé d'un disque et de deux capteurs optiques A et B. Le disque dispose de parties pleines et de parties ajourées.

Lorsque le disque tourne les capteurs A et B fournissent des signaux carrés décalés d'un quart de période qui permettent de connaitre précisément la position du disque et donc du volant.

Le comptage ou décomptage se fait sur le front montant de A.

Le comptage se fait lorsque le volant tourne dans le sens anti-horaire et le décomptage dans le sens horaire.

Question 1.12

À l'aide de la figure 13, montrer que le nombre d'impulsions retourné par le codeur incrémental est de 250 lorsque le volant tourne de - 45° à + 45°. Justifier alors le choix d'un compteur 8 bits.

Question 1.13

Extraire du diagramme des exigences (figure 12) la précision souhaitée de la mesure de l'angle du volant puis vérifier l'aptitude du système à atteindre cette précision.

Sous-partie 3

Contrôle de la direction

L'objectif de cette sous-partie est de valider la chaine d'acquisition de l'angle du volant ainsi que la transmission sans fil de cette mesure.

Le poste de pilotage permet à l'utilisateur de choisir sa vitesse, sa direction et de visualiser différentes informations sur un écran, notamment le niveau de batterie et la vitesse. Le diagramme partiel des exigences de la partie pilotage est présenté figure 12.

Le volant, manœuvré par le pilote, entraîne un système poulies-courroie. La poulie réceptrice est reliée à un codeur incrémental qui génère 100 impulsions par tour. Ces impulsions sont comptées par un microcontrôleur, qui fournit une information de direction sous la forme d'un entier codé sur 8 bits, image de la position du volant. Cette information est ensuite transmise via une liaison sans fil à l'unité arrière. Celle-ci contrôle un vérin qui oriente le moteur électrique, permettant ainsi de diriger le bateau. La figure 13 illustre cette chaine d'acquisition de l'angle volant.

Pour compter les impulsions, il est nécessaire de connaître le sens de rotation du volant. Ce sens permet de déterminer s'il faut incrémenter ou décrémenter le compteur d'impulsions Nvolant. Pour cela, le codeur incrémental fournit deux trains d'impulsions décalées d'un quart de période (figures 14 et 15).

Le codeur incrémental est composé d'un disque et de deux capteurs optiques A et B. Le disque dispose de parties pleines et de parties ajourées.

Lorsque le disque tourne les capteurs A et B fournissent des signaux carrés décalés d'un quart de période qui permettent de connaitre précisément la position du disque et donc du volant.

Le comptage ou décomptage se fait sur le front montant de A.

Le comptage se fait lorsque le volant tourne dans le sens anti-horaire et le décomptage dans le sens horaire.

Le comptage se fait lorsque le volant tourne dans le sens anti-horaire et le décomptage dans le sens horaire.

Question 1.14 (DR3)

Sachant que le comptage/décomptage se fait sur le front montant de A, indiquer à l'aide des chronogrammes de la figure 15 la valeur de B lors d'un comptage (sens anti-horaire) et lors d'un décomptage (sens horaire). Compléter alors le programme Python sur le DR3.

def comptage_decomptage(int N):

#fonction qui renvoie N après comptage ou décomptage

B=pinB.value() #lecture de la valeur du capteur B

if B==0:

N =

else:

N =

return

Sous-partie 3

Contrôle de la direction

L'objectif de cette sous-partie est de valider la chaine d'acquisition de l'angle du volant ainsi que la transmission sans fil de cette mesure.

Le poste de pilotage permet à l'utilisateur de choisir sa vitesse, sa direction et de visualiser différentes informations sur un écran, notamment le niveau de batterie et la vitesse. Le diagramme partiel des exigences de la partie pilotage est présenté figure 12.

Le volant, manœuvré par le pilote, entraîne un système poulies-courroie. La poulie réceptrice est reliée à un codeur incrémental qui génère 100 impulsions par tour. Ces impulsions sont comptées par un microcontrôleur, qui fournit une information de direction sous la forme d'un entier codé sur 8 bits, image de la position du volant. Cette information est ensuite transmise via une liaison sans fil à l'unité arrière. Celle-ci contrôle un vérin qui oriente le moteur électrique, permettant ainsi de diriger le bateau. La figure 13 illustre cette chaine d'acquisition de l'angle volant.

Pour compter les impulsions, il est nécessaire de connaître le sens de rotation du volant. Ce sens permet de déterminer s'il faut incrémenter ou décrémenter le compteur d'impulsions Nvolant. Pour cela, le codeur incrémental fournit deux trains d'impulsions décalées d'un quart de période (figures 14 et 15).

Le codeur incrémental est composé d'un disque et de deux capteurs optiques A et B. Le disque dispose de parties pleines et de parties ajourées.

Lorsque le disque tourne les capteurs A et B fournissent des signaux carrés décalés d'un quart de période qui permettent de connaitre précisément la position du disque et donc du volant.

Le comptage ou décomptage se fait sur le front montant de A.

Le comptage se fait lorsque le volant tourne dans le sens anti-horaire et le décomptage dans le sens horaire.

Le chronogramme du DR3 représente une capture partielle faite à l'oscilloscope de la transmission de l'angle du volant entre le poste de pilotage et la propulsion (située à l'arrière du bateau).

Cette transmission sans fil utilise la modulation FSK. Dans cette modulation, une fréquence élevée correspond à un niveau logique haut (1) et une fréquence plus faible correspond à un niveau logique bas (0). Le bit de poids faible est transmis en premier.

De plus, afin de vérifier que la transmission s'est effectuée correctement, l'émetteur ajoute à la suite de la donnée un bit de parité de manière à ce que le nombre de bits à 1 transmis soit toujours pair.

Question 1.15

Compléter le tableau du DR3 en indiquant les niveaux logiques de la donnée lors de la transmission. En déduire la valeur transmise en binaire puis en hexadécimal ainsi que la valeur du bit de parité.

Niveaux logiques de la donnée (transmis LSB en premier)

Parité

LSB (b0)

b1

b2

b3

b4

b5

b6

MSB (b7)

Bit de parité

?

Question 1.16

En plus de la direction, le poste de pilotage transmet la vitesse souhaitée à la chaîne de propulsion. En retour, les informations de vitesse du moteur et du niveau de charge de la batterie sont transmises. Chacune de ces informations est codée sur 9 bits (8 bits de données + 1 bit de parité), à une vitesse de transmission de 8 kbit·s⁻¹. Lors de l'envoi, une pause de 10 ms est effectuée entre deux informations successives. La transmission des informations se fait en continu.

Calculer la durée totale de transmission d'une salve de ces quatre informations, et montrer que la fréquence est de 22,5 transmissions par seconde.

Sous-partie 3

Contrôle de la direction

L'objectif de cette sous-partie est de valider la chaine d'acquisition de l'angle du volant ainsi que la transmission sans fil de cette mesure.

Le poste de pilotage permet à l'utilisateur de choisir sa vitesse, sa direction et de visualiser différentes informations sur un écran, notamment le niveau de batterie et la vitesse. Le diagramme partiel des exigences de la partie pilotage est présenté figure 12.

Le volant, manœuvré par le pilote, entraîne un système poulies-courroie. La poulie réceptrice est reliée à un codeur incrémental qui génère 100 impulsions par tour. Ces impulsions sont comptées par un microcontrôleur, qui fournit une information de direction sous la forme d'un entier codé sur 8 bits, image de la position du volant. Cette information est ensuite transmise via une liaison sans fil à l'unité arrière. Celle-ci contrôle un vérin qui oriente le moteur électrique, permettant ainsi de diriger le bateau. La figure 13 illustre cette chaine d'acquisition de l'angle volant.

Pour compter les impulsions, il est nécessaire de connaître le sens de rotation du volant. Ce sens permet de déterminer s'il faut incrémenter ou décrémenter le compteur d'impulsions Nvolant. Pour cela, le codeur incrémental fournit deux trains d'impulsions décalées d'un quart de période (figures 14 et 15).

Le codeur incrémental est composé d'un disque et de deux capteurs optiques A et B. Le disque dispose de parties pleines et de parties ajourées.

Lorsque le disque tourne les capteurs A et B fournissent des signaux carrés décalés d'un quart de période qui permettent de connaitre précisément la position du disque et donc du volant.

Le comptage ou décomptage se fait sur le front montant de A.

Le comptage se fait lorsque le volant tourne dans le sens anti-horaire et le décomptage dans le sens horaire.

Question 1.17 — Extraire du diagramme des exigences (figure 12) la fréquence de transmission désirée puis conclure sur la capacité du système à transmettre les informations à la partie propulsion du bateau.

transmissions/s

Partie 2: Sciences physiques

EXERCICE A – Mouvement sur un plan incliné

Des records de vitesse (figure 1) sont établis avec des engins non motorisés (luge, vélo, skis) dévalant un plan incliné.

Pour les modéliser, on étudie le mouvement d'un mobile sur un plan incliné formant un angle $\theta = 30^\circ$ avec l'horizontale. On s'intéresse au mouvement du centre de masse M du mobile dans le référentiel terrestre supposé galiléen, au regard des durées mises en jeu. Le mouvement est rectiligne selon l'axe (Ox) du repère $(\mathrm{O}, \vec{i}, \vec{j})$. À l'instant $t = 0$, le mobile part du point O avec une vitesse nulle. On choisit de ne pas prendre en compte les éventuels frottements et on néglige l'épaisseur du mobile.

Données:

masse du mobile: $m = 0{,}275\text{ kg}$;

norme de l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre: $g = 9{,}80\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$;

Q1.

Reproduire le schéma sur la copie et y représenter, sans souci d'échelle et des proportions, le poids $\vec{P}$ et la réaction normale $\vec{R}$ du plan incliné (soigner néanmoins la direction et l'orientation des deux vecteurs).

Q2.

Écrire la deuxième loi de Newton.

Une modélisation permet d'obtenir les lois horaires de l'accélération, de la vitesse et de la position de M dans le repère Oxy, qui s'écrivent:

$$\begin{aligned} a_x &= 4{,}92\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} & a_y &= 0\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \\ v_x(t) &= a_x t & v_y(t) &= 0 \\ x(t) &= \frac{1}{2}a_x t^2 & y(t) &= 0 \end{aligned}$$

Q3.

En exploitant cette modélisation, justifier que la résultante des forces est dirigée selon Ox.

Q4.

Calculer la valeur de la position $x$ à l'instant $t = 0{,}3\text{ s}$ à l'aide de la modélisation.

Ci-dessous figurent les enregistrements expérimentaux des mesures de la position et de la vitesse de M en fonction du temps.

Q5.

Déterminer graphiquement la position du mobile à l'instant $t = 0{,}3\text{ s}$. Commenter l'écart obtenu avec le résultat de la question Q4.

Q6.

À l'aide de la figure 3b, déterminer graphiquement la valeur de l'accélération.

Q7.

Indiquer si la valeur obtenue est exactement la même que celle prédite par la modélisation. Si non, proposer une explication.

Partie 2: Sciences physiques

EXERCICE A – Mouvement sur un plan incliné

Des records de vitesse (figure 1) sont établis avec des engins non motorisés (luge, vélo, skis) dévalant un plan incliné.

Pour les modéliser, on étudie le mouvement d'un mobile sur un plan incliné formant un angle $\theta = 30^\circ$ avec l'horizontale. On s'intéresse au mouvement du centre de masse M du mobile dans le référentiel terrestre supposé galiléen, au regard des durées mises en jeu. Le mouvement est rectiligne selon l'axe (Ox) du repère $(\mathrm{O}, \vec{i}, \vec{j})$. À l'instant $t = 0$, le mobile part du point O avec une vitesse nulle. On choisit de ne pas prendre en compte les éventuels frottements et on néglige l'épaisseur du mobile.

Données:

masse du mobile: $m = 0{,}275\text{ kg}$;

norme de l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre: $g = 9{,}80\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$;

On s'intéresse dans un premier temps à la conduction thermique au sein de l'épaisseur du fuselage.

Q1.

Indiquer dans quel sens s'effectue le transfert thermique par conduction entre l'intérieur et l'extérieur du fuselage. Justifier.

Q2.

Montrer que l'expression du flux thermique de conduction $\Phi_{\text{cond}}$ est:

$$\Phi_{\text{cond}} = (T_{\text{int}} - T_{\text{ext}})\frac{2\pi \lambda r L}{e}$$

Q3.

Vérifier que la valeur de $\Phi_{\text{cond}}$ est d'environ $7{,}7\text{ kW}$.

Q4.

Déterminer l'expression de la capacité thermique $C_{\text{air}}$ de l'air de l'habitacle en fonction de $c_{\text{air}}$, $\rho_{\text{air}}$ et $V$. Calculer sa valeur et la comparer avec la donnée $C$.

De plus, on suppose que tous les passagers, assis et calmes, fournissent ensemble à l'air de l'habitacle une puissance thermique $P_{\text{pass}} = 14\text{ kW}$.

Q5.

En régime permanent et donc à température constante, montrer que le premier principe de la thermodynamique appliqué au système {air de l'habitacle} conduit à la relation $P_{\text{CVC}} = \Phi_{\text{cond}} - P_{\text{pass}}$, avec $P_{\text{CVC}}$ la puissance apportée à l'air de l'habitacle par le dispositif de CVC.

Q6.

Calculer la valeur de $P_{\text{CVC}}$. En déduire si le dispositif de CVC permettant de maintenir constante la température intérieure doit fournir une puissance thermique à l'air situé dans l'habitacle (chauffage) ou en recevoir (climatisation).

Q7.

Le dispositif de CVC tombe en panne. En supposant que le flux thermique de conduction reste à peu près constant, calculer la température $T_{\text{déf}}$ qu'atteindrait l'air situé à l'intérieur de l'habitacle, une heure après la défaillance du dispositif de CVC. Commenter.