Sujet du Bac Mathématiques 2024 · Amérique du Sud Jour 2

EXERCICE 1 (5 points)

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France:

$A+$, $O+$, $B+$, $A-$, $O-$, $AB+$, $B-$ et $AB-$ sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.

Par exemple: $A+$ est le groupe sanguin $A$ de rhésus $+$.

Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.

Dans l'exercice, on adopte les notations du type:

$A+$ est l'événement « la personne est de groupe sanguin $A$ et de rhésus $+$ »

$A-$ est l'événement « la personne est de groupe sanguin $A$ et de rhésus $-$ »

$A$ est l'événement « la personne est de groupe sanguin $A$ »

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1

On note $Rh+$ l'événement « La personne est de rhésus positif ».

1.

Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à $0,849$.

2.

Démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $P_{Rh+}(A) = 0,450$ à $0,001$ près.

3.

Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus. Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif ? Arrondir le résultat à $0,001$ près.

EXERCICE 1 (5 points)

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France:

$A+$, $O+$, $B+$, $A-$, $O-$, $AB+$, $B-$ et $AB-$ sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.

Par exemple: $A+$ est le groupe sanguin $A$ de rhésus $+$.

Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.

Dans l'exercice, on adopte les notations du type:

$A+$ est l'événement « la personne est de groupe sanguin $A$ et de rhésus $+$ »

$A-$ est l'événement « la personne est de groupe sanguin $A$ et de rhésus $-$ »

$A$ est l'événement « la personne est de groupe sanguin $A$ »

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 2

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.

Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif. On rappelle que $6,5\%$ de la population française est de groupe $O-$.

1. On considère $50$ personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.

a.

Déterminer la probabilité que $8$ personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse.

b.

On considère la fonction ci-dessous nommée proba d'argument k écrite en langage Python.

def proba(k):

p = 0

for i in range(k+1):

p = p + binomiale(i, 50, 0.065)

return p

Cette fonction utilise la fonction binomiale d'argument i, n et p, créée pour l'occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction proba lorsqu'on saisit proba(8) dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2.

Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0,999$.

EXERCICE 2 (5 points)

Cet exercice contient 5 affirmations.

Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.

Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

Partie 1

On considère la suite $(u_n)$ définie par:

$$u_0 = 10 \quad \text{et pour tout entier naturel } n,\ u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2.$$

1.

Affirmation 1: La suite $(u_n)$ est décroissante minorée par 0.

VRAI

FAUX

2.

Affirmation 2: $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$.

VRAI

FAUX

3.

Affirmation 3: La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 3$ est géométrique.

VRAI

FAUX

EXERCICE 2 (5 points)

Cet exercice contient 5 affirmations.

Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse.

Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

Partie 2

On considère l'équation différentielle $(E): y' = \frac{3}{2}y + 2$ d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

1.

Affirmation 4: Il existe une fonction constante solution de l'équation différentielle $(E)$.

VRAI

FAUX

2.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ on note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ solution de $(E)$ tel que $f(0) = 0$.

Affirmation 5: La tangente au point d'abscisse 1 de $C_f$ a pour coefficient directeur $2\,\mathrm{e}^{\frac{3}{2}}$.

VRAI

FAUX

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbf{R}$ par:

$$f(x) = (x^2 - 4)\mathrm{e}^{-x}$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Partie 1

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbf{R}$ par:$$f(x) = (x^2 - 4)\mathrm{e}^{-x}$$On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1.

Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2.

Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x) = (-x^2 + 2x + 4)\mathrm{e}^{-x}$.

3.

En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbf{R}$.

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbf{R}$ par:

$$f(x) = (x^2 - 4)\mathrm{e}^{-x}$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Partie 2

On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:$$I_n = \int_{-2}^0 x^n \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$$

1.

Justifier que $I_0 = \mathrm{e}^2 - 1$.

2.

En utilisant une intégration par partie, démontrer l'égalité:$$I_{n+1} = (-2)^{n+1}\mathrm{e}^2 + (n+1)I_n$$

3.

En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2$.

Partie 3

1.

Déterminer le signe sur $\mathbf{R}$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1.

2.

On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Le domaine $D$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $D$.

Exercice 4 (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère les trois points $A(3; 0; 0)$, $B(0; 2; 0)$ et $C(0; 0; 2)$.

L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante:

« Le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des 3 autres faces du tétraèdre OABC ».

Partie 1: Distance du point O au plan (ABC)

1.

Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2; 3; 3)$ est normal au plan $(ABC)$.

2.

Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est: $2x + 3y + 3z - 6 = 0$.

3.

Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $O$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.

4.

On note $H$ le point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(ABC)$. Déterminer les coordonnées du point $H$.

5.

En déduire que la distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est égale à $\frac{3\sqrt{22}}{11}$.

Partie 2: Démonstration de la propriété

1.

Démontrer que le volume du tétraèdre $OABC$ est égal à $2$.

2.

En déduire que l'aire du triangle $ABC$ est égale à $\sqrt{22}$.

3.

Démontrer que pour le tétraèdre $OABC$, « le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des 3 autres faces du tétraèdre ».

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \frac{1}{3} B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.