Exercice 2 - Partie 1 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2024 (jour 2)

Justification de l'affirmation 1

Réponse : Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge 3$ : - Initialisation : $u_0 = 10 \ge 3$. - Hérédité : si $u_n \ge 3$, alors $\frac{1}{3}u_n \ge 1$, d'où $u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + 2 \ge 3$. Donc pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge 3 > 0$, la suite est donc minorée par 0. De plus, $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{3}u_n + 2 - u_n = -\frac{2}{3}u_n + 2 = -\frac{2}{3}(u_n - 3)$. Comme $u_n \ge 3$, $u_{n+1} - u_n \le 0$, donc la suite est décroissante.

Affirmation 2 : $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$. - Justification

Réponse : Comme $(u_n)$ est convergente vers une limite $\ell$, celle-ci vérifie l'équation de point fixe $\ell = \frac{1}{3}\ell + 2$, d'où $\frac{2}{3}\ell = 2$ et donc $\ell = 3 \neq 0$. L'affirmation est donc fausse.

Justification de l'affirmation 3

Réponse : Pour tout entier naturel $n$ : $$v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = \left(\frac{1}{3}u_n + 2\right) - 3 = \frac{1}{3}u_n - 1 = \frac{1}{3}(u_n - 3) = \frac{1}{3}v_n$$ La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 3 = 10 - 3 = 7$.