Exercice 3 - Partie 1 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2024 (jour 2)

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbf{R}$ par:

$$f(x) = (x^2 - 4)\mathrm{e}^{-x}$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Partie 1

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbf{R}$ par:$$f(x) = (x^2 - 4)\mathrm{e}^{-x}$$On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1.

Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2.

Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x) = (-x^2 + 2x + 4)\mathrm{e}^{-x}$.

3.

En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbf{R}$.