Exercice 3 - Parties 2 et 3 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2024 (jour 2)

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbf{R}$ par:

$$f(x) = (x^2 - 4)\mathrm{e}^{-x}$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbf{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Partie 2

On considère la suite $(I_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:$$I_n = \int_{-2}^0 x^n \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$$

1.

Justifier que $I_0 = \mathrm{e}^2 - 1$.

2.

En utilisant une intégration par partie, démontrer l'égalité:$$I_{n+1} = (-2)^{n+1}\mathrm{e}^2 + (n+1)I_n$$

3.

En déduire les valeurs exactes de $I_1$ et de $I_2$.

Partie 3

1.

Déterminer le signe sur $\mathbf{R}$ de la fonction $f$ définie dans la partie 1.

2.

On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Le domaine $D$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $D$.