Exercice 4 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2024 (jour 2)

Exercice 4 (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère les trois points $A(3; 0; 0)$, $B(0; 2; 0)$ et $C(0; 0; 2)$.

L'objectif de cet exercice est de démontrer la propriété suivante:

« Le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des 3 autres faces du tétraèdre OABC ».

Partie 1: Distance du point O au plan (ABC)

1.

Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2; 3; 3)$ est normal au plan $(ABC)$.

2.

Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est: $2x + 3y + 3z - 6 = 0$.

3.

Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $O$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.

4.

On note $H$ le point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(ABC)$. Déterminer les coordonnées du point $H$.

5.

En déduire que la distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est égale à $\frac{3\sqrt{22}}{11}$.

Partie 2: Démonstration de la propriété

1.

Démontrer que le volume du tétraèdre $OABC$ est égal à $2$.

2.

En déduire que l'aire du triangle $ABC$ est égale à $\sqrt{22}$.

3.

Démontrer que pour le tétraèdre $OABC$, « le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des 3 autres faces du tétraèdre ».

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \frac{1}{3} B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.