Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2024 (jour 2)

1. Sans justifier, donner les coordonnées du point F.

Réponse : $(3; 0; 1)$

1. Sans justifier, donner les coordonnées du point H.

Réponse : $(0; 1; 1)$

1. Sans justifier, donner les coordonnées du point M.

Réponse : $\left(\frac{3}{2}; 1; 0\right)$

2. a) Montrer que le vecteur n(2; 6; 3) est un vecteur normal au plan (HMF).

Réponse : $\vec{n}\cdot\vec{HM} = 0$ et $\vec{n}\cdot\vec{HF} = 0$, avec $\vec{HM}$ et $\vec{HF}$ non colinéaires.

2. b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (HMF) est 2x + 6y + 3z - 9 = 0.

Réponse : $2x + 6y + 3z - 9 = 0$

2. c) Le plan P dont une équation cartésienne est 5x + 15y - 3z + 7 = 0 est-il parallèle au plan (HMF) ?

Réponse : Non

2. c) Justifier la réponse.

Réponse : Les vecteurs normaux $\vec{m}(5, 15, -3)$ et $\vec{n}(2, 6, 3)$ ne sont pas colinéaires.

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).

Réponse : $$\begin{cases} x = 3t \\ y = 1 \\ z = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

4. On appelle N le point d'intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF). Déterminer les coordonnées du point N.

Réponse : $\left(1; 1; \frac{1}{3}\right)$

5. Le point R de coordonnées (3; 1/4; 1/2) est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF) ?

Réponse : Non

5. Justifier la réponse.

Réponse : $R$ appartient à $(HMF)$ mais le vecteur $\vec{RG}\left(0; \frac{3}{4}; \frac{1}{2}\right)$ n'est pas colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(2; 6; 3)$.