Exercice 1 - Parties B et C · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2024 (jour 2)

Les données publiées le 1 er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes:

22,86 % des véhicules étaient des véhicules neufs;

8,08 % des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;

1,27 % des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie B

Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022. Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.

On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500 véhicules choisis.

1.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.

$n =$

$p =$

2.

Déterminer la probabilité qu'exactement 325 de ces véhicules soient neufs.

3.

Déterminer la probabilité $P(X \ge 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65. On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

1.

Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ que tous ces véhicules soient d'occasion.

2.

On note $q_n$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n \ge 0{,}9999$.