Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2024 (jour 2)

1. Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0; 1]$

Réponse : $g'(x) = 2 - 2x > 0$ sur $[0; 1[$

1. Préciser la valeur de $g(0)$

Réponse : 0

1. Préciser la valeur de $g(1)$

Réponse : 1

2. Calculer $u_1$

Réponse : 3/4

2. Calculer $u_2$

Réponse : 15/16

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_n < u_{n+1} < 1$

Réponse : Démonstration par récurrence vérifiée

4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente

Réponse : $(u_n)$ est croissante et majorée par 1, donc convergente

5. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$

Réponse : 1

6. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 2

Réponse : $v_{n+1} = 2v_n$

6. Préciser son premier terme

Réponse : -ln(2) / ln(1/2)

7. En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$

Réponse : -ln(2)*2^n / ln(1/2)*2^n

8. Retrouver la limite déterminée à la question 5

Réponse : \lim_{n\to+\infty} u_n = 1

8. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$

Réponse : 1 - e^(-ln(2)*2^n) / 1 - exp(-ln(2)*2^n)

9. Ligne à compléter pour n

Réponse : ```python n=n+1 ```

9. Ligne à compléter pour u

Réponse : ```python u=2*u-u*u ``` ```python u=2*u-u**2 ```