Exercice 4 - Question 4 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2024 (jour 2)

Soit $a$ un réel strictement positif.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = a\ln(x)$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse $x_0$.

On appelle $A$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

4.

Démontrer que la longueur $AB$ est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$) que l'on déterminera. Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.