Abitur Sachsen-Anhalt Mathematik 2022 · LK · Teil B · Analysis (WTR)

Ein ICE fährt bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

Die Geschwindigkeitsentwicklung von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird zunächst mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ der Schar mit $f(x) = 30x^3 - 90x^2 + 240$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 15:00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde.

Die Abbildung 1 zeigt für $0 \le x \le 2$ den Graphen von $f$; außerdem stellt sie die Geschwindigkeiten des ICE vor 15:00 Uhr und nach 15:02 Uhr dar.

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit $f_p(x) = \frac{p}{4} \cdot x^4 + (30-p) \cdot x^3 + (p-90) \cdot x^2 + 240$ und $p \in \mathbb{R}$ daraufhin untersucht, ob sie für $0 \le x \le 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

Die Abbildung 2 ist im Vergleich zur Abbildung 1 um die Graphen $G_{-80}$ und $G_{250}$ der Funktionen $f_{-80}$ bzw. $f_{250}$ ergänzt.

a)

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, die der ICE eine halbe Minute nach 15:00 Uhr hat. Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit in der ersten halben Minute nach 15:00 Uhr um einen kleineren Betrag abnimmt als in der darauf folgenden halben Minute.

Ein ICE fährt bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

Die Geschwindigkeitsentwicklung von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird zunächst mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ der Schar mit $f(x) = 30x^3 - 90x^2 + 240$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 15:00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde.

Die Abbildung 1 zeigt für $0 \le x \le 2$ den Graphen von $f$; außerdem stellt sie die Geschwindigkeiten des ICE vor 15:00 Uhr und nach 15:02 Uhr dar.

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit $f_p(x) = \frac{p}{4} \cdot x^4 + (30-p) \cdot x^3 + (p-90) \cdot x^2 + 240$ und $p \in \mathbb{R}$ daraufhin untersucht, ob sie für $0 \le x \le 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

Die Abbildung 2 ist im Vergleich zur Abbildung 1 um die Graphen $G_{-80}$ und $G_{250}$ der Funktionen $f_{-80}$ bzw. $f_{250}$ ergänzt.

b)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt. [4 BE]

d)

Untersuchen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist: [5 BE]

„Wenn sich die Abnahme der Geschwindigkeit von 15:01 Uhr an nicht mehr verändern würde, dann käme der ICE von diesem Zeitpunkt an nach drei Kilometern zum Stehen.“

f)

Geben Sie denjenigen Wert von $p$ an, für den $f_p(x)$ mit dem Term der Funktion $f$ übereinstimmt. Beurteilen Sie für jede der Funktionen $f_{-80}$ und $f_{250}$ mithilfe des zugehörigen Graphen, ob die Funktion die Geschwindigkeitsentwicklung innerhalb des Zeitraums von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnte. [3 BE]

g)

Gegeben sind die folgenden Informationen:

Für $p \neq 0$ liefert $f_p'(x)=0$ neben $x_1=0$ und $x_2=2$ die Lösung $x_3=1-\frac{90}{p}$.

Es gilt $x_3 \le 0 \Leftrightarrow 0 < p \le 90$ und $x_3 \ge 2 \Leftrightarrow -90 \le p < 0$.

Beurteilen Sie auch unter Verwendung dieser Informationen die Funktionen $f_p$ mit $p \neq 0$ im Hinblick auf ihre Eignung zur Beschreibung der angenommenen Geschwindigkeitsentwicklung innerhalb des Zeitraums von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr. [4 BE]

Ein ICE fährt bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

Die Geschwindigkeitsentwicklung von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird zunächst mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ der Schar mit $f(x) = 30x^3 - 90x^2 + 240$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 15:00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde.

Die Abbildung 1 zeigt für $0 \le x \le 2$ den Graphen von $f$; außerdem stellt sie die Geschwindigkeiten des ICE vor 15:00 Uhr und nach 15:02 Uhr dar.

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit $f_p(x) = \frac{p}{4} \cdot x^4 + (30-p) \cdot x^3 + (p-90) \cdot x^2 + 240$ und $p \in \mathbb{R}$ daraufhin untersucht, ob sie für $0 \le x \le 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

Die Abbildung 2 ist im Vergleich zur Abbildung 1 um die Graphen $G_{-80}$ und $G_{250}$ der Funktionen $f_{-80}$ bzw. $f_{250}$ ergänzt.

c)

Berechnen Sie die Länge der Strecke, die der ICE in den ersten zwei Minuten nach 15:00 Uhr zurücklegt.

Ein ICE fährt bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

Die Geschwindigkeitsentwicklung von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird zunächst mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ der Schar mit $f(x) = 30x^3 - 90x^2 + 240$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit 15:00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde.

Die Abbildung 1 zeigt für $0 \le x \le 2$ den Graphen von $f$; außerdem stellt sie die Geschwindigkeiten des ICE vor 15:00 Uhr und nach 15:02 Uhr dar.

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit $f_p(x) = \frac{p}{4} \cdot x^4 + (30-p) \cdot x^3 + (p-90) \cdot x^2 + 240$ und $p \in \mathbb{R}$ daraufhin untersucht, ob sie für $0 \le x \le 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

Die Abbildung 2 ist im Vergleich zur Abbildung 1 um die Graphen $G_{-80}$ und $G_{250}$ der Funktionen $f_{-80}$ bzw. $f_{250}$ ergänzt.

e)

Der Übergang von der Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit vor 15:00 Uhr zur Fahrt nach 15:00 Uhr erfolgt sowohl hinsichtlich der Geschwindigkeit als auch hinsichtlich der momentanen Änderungsrate der Geschwindigkeit ohne Sprung. Die Funktionen $f_p$ werden diesen beiden Anforderungen gerecht. Geben Sie die zugehörigen Bedingungen an, die die Funktionen $f_p$ erfüllen.

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + 1$. Die Punkte $E_1(-2 \mid -1)$ und $E_2(2 \mid 3)$ sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von $s$.

a

Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$.

(zur Kontrolle: $a = 2$, $b = \frac{\pi}{4}$)

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + 1$. Die Punkte $E_1(-2 \mid -1)$ und $E_2(2 \mid 3)$ sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von $s$.

b

Es gilt $\int_{-2}^{2} s(x)\,\mathrm{d}x = 4$. Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 3, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann.

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + 1$. Die Punkte $E_1(-2 \mid -1)$ und $E_2(2 \mid 3)$ sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von $s$.

Die Punkte des Graphen von $s$ mit der y-Koordinate $1$ sind die Wendepunkte des Graphen.

c

Zeigen Sie, dass jeder Wendepunkt des Graphen von $s$ eine ganzzahlige x-Koordinate hat und dass der Graph von $s$ in jedem seiner Wendepunkte entweder die Steigung $-\frac{\pi}{2}$ oder die Steigung $+\frac{\pi}{2}$ hat.

d

Für jeden Wendepunkt des Graphen von $s$ wird die Gerade betrachtet, die durch diesen Wendepunkt und den Punkt $P(2022|2022)$ verläuft. Untersuchen Sie, ob eine dieser Geraden im jeweiligen Wendepunkt Tangente an den Graphen von $s$ ist.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

a)

Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von $f$, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass $f$ genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von $f$ für $x \to +\infty$ an.

$x =$

$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =$

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

b)

Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion $f'$ von $f$.

(zur Kontrolle: $f'(x) = (1 - x^2) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}$)

c)

Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von $f$. Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

d)

Ist $g'$ die erste Ableitungsfunktion einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$, so gilt

$$\int_u^v g'(x)\cdot e^{g(x)}\mathrm{d}x = \left[e^{g(x)}\right]_u^v\text{.}$$

Berechnen Sie damit den Wert des Terms $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x$.

e)

Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ und für jede reelle Zahl $w > 2022$ gilt

$$F(w) - F(0) \approx \int_0^{2022} f(x)\mathrm{d}x\text{.}$$

Betrachtet wird nun die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$.

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

Die Extremstellen von $f_a$ stimmen mit den Lösungen der Gleichung $a \cdot x^2 = 1$ überein.

a)

Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt $(1|1)$ enthält, und geben Sie den zugehörigen Wert von $a$ an.

Betrachtet wird nun die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$.

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

Die Extremstellen von $f_a$ stimmen mit den Lösungen der Gleichung $a \cdot x^2 = 1$ überein.

b)

Der Graph der Funktion $f_0$ ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der y-Achse an.

c)

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen $a$, $a_1$ und $a_2$:

$f_a(0) = 0$

$f_a'(0) = f_0'(0)$

$f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \iff a_1 = a_2 \lor x = 0$

Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.

d)

Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von $a$ richtig ist:

Wird der Graph von $f_a$ mit dem gleichen Faktor $k > 0$ sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.

Betrachtet wird nun die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$.

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

Die Extremstellen von $f_a$ stimmen mit den Lösungen der Gleichung $a \cdot x^2 = 1$ überein.

e)

Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von $a$ an und begründen Sie Ihre Angabe.

f)

Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y = x$ handelt.

g)

Für jeden positiven Wert von $a$ bilden der Hochpunkt $(v \mid f_a(v))$ des Graphen von $f_a$, der Punkt $\left(0 \mid \frac{2}{v}\right)$, der Koordinatenursprung und der Punkt $(v \mid 0)$ die Eckpunkte eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von $a$, für den das Viereck den Flächeninhalt $49$ hat.

1 Aufgabe

Für einen industriellen Produktionsprozess wird ein Behälter verwendet. Im Laufe des Produktionsprozesses enthält der Behälter unterschiedliche Mengen einer Flüssigkeit. Die Füllhöhe der Flüssigkeit im Behälter in Zentimetern wird mit $h$ bezeichnet.

Die Funktion $M$ mit $M(h) = 100 \cdot e^{-0{,}04 \cdot h}$ beschreibt die Abhängigkeit einer Messgröße von $h$. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $M$.

a

Geben Sie den Wert von $M$ bei leerem Behälter an. Für die größte zugelassene Füllhöhe hat $M$ den Wert $2$. Berechnen Sie die größte zugelassene Füllhöhe.

b

Nimmt die Füllhöhe um $25\text{ cm}$ ab, so verändert sich der Wert von $M$ vom jeweiligen Ausgangswert zum $k$-fachen dieses Ausgangswerts. Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Faktor $k$ unabhängig von der Ausgangsfüllhöhe ist, und geben Sie den Wert von $k$ an.

c

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(h) = \ln(M(h))$ ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Geraden sowie die Koordinaten des gemeinsamen Punkts des Graphen von $g$ und der $y$-Achse an.

Der betrachtete Behälter ist kugelförmig und hat einen Innendurchmesser von 100 cm. Das Füllvolumen der Flüssigkeit im Behälter in Litern kann in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h$ mit dem Term $$V(h) = \frac{1}{1000} \cdot \int_{0}^{h} \pi \cdot \left(50^2 - (50 - x)^2\right) \mathrm{d}x$$ berechnet werden.

a)

Bestimmen Sie einen Term einer Stammfunktion der Funktion $i$ mit $i(x) = \pi \cdot (50^2 - (50 - x)^2)$.

b)

Die Abbildung 2 zeigt einen vertikalen Schnitt durch den Mittelpunkt des Behälters. Geben Sie die Bedeutung des Terms $\pi \cdot (50^2 - (50 - x)^2)$ im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe mithilfe der Abbildung 2. Beschreiben Sie die Bedeutung des Faktors $\frac{1}{1000}$ im Term $V(h)$ im Sachzusammenhang.

Der betrachtete Behälter ist kugelförmig und hat einen Innendurchmesser von 100 cm. Das Füllvolumen der Flüssigkeit im Behälter in Litern kann in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h$ mit dem Term $$V(h) = \frac{1}{1000} \cdot \int_{0}^{h} \pi \cdot \left(50^2 - (50 - x)^2\right) \mathrm{d}x$$ berechnet werden.

c)

Die Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $h \mapsto V(h)$. Begründen Sie, dass der Wendepunkt dieses Graphen die x-Koordinate $50$ hat, und berechnen Sie das zugehörige Füllvolumen.

Während des Produktionsprozesses wird dem Behälter kontinuierlich Flüssigkeit zugeführt und wieder entnommen. Die zeitliche Entwicklung des Füllvolumens der Flüssigkeit im Behälter lässt sich mithilfe des Terms $V(t) = 150 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot t\right) + 300$ beschreiben. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Produktionsprozesses vergangene Zeit in Minuten und $V(t)$ das Füllvolumen in Litern.

a)

Begründen Sie, dass das minimale Füllvolumen während des Produktionsprozesses $150$ Liter beträgt.

b)

Berechnen Sie diejenigen Zeitpunkte in der ersten halben Stunde nach Beginn des Produktionsprozesses, zu denen das Füllvolumen jeweils genau $375$ Liter beträgt.

Minuten

c)

Bestimmen Sie unter Verwendung der Abbildung 3 die Füllhöhe, die $50$ Minuten nach Beginn des Produktionsprozesses vorliegt.