Abitur Sachsen-Anhalt Mathematik 2026 · LK · Teil B · Analysis (WTR)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto \frac{1}{4}x^3 + ax^2 + ax + \frac{1}{4}$ mit $a \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $G_a$ für $a = 0$.

b

Zeigen Sie, dass es genau zwei Punkte gibt, durch die alle Graphen der Schar verlaufen, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte.

Punkt 1:

Punkt 2:

c

Der Term einer Funktion der Schar kann in der Form $\frac{1}{4} \cdot (x + 1)^3$ angegeben werden. Der Graph dieser Funktion kann durch Verschiebungen aus $G_0$ erzeugt werden. Geben Sie eine passende Möglichkeit an.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto \frac{1}{4}x^3 + ax^2 + ax + \frac{1}{4}$ mit $a \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $G_a$ für $a = 0$.

a

Berechnen Sie denjenigen Wert von $a$, für den der Punkt $(1|-1)$ auf $G_a$ liegt, und zeigen Sie, dass dieser Punkt Wendepunkt dieses Graphen ist. [5 BE]

$a =$

d

Betrachtet werden für jeden Wert $u > 0$ die Tangente $t_u$ an $G_0$ im Punkt $P_u(u|f_0(u))$ sowie der Punkt $Q_u(u|0)$. Die Tangente $t_u$ schneidet die x-Achse in einem Punkt, der mit $T_u$ bezeichnet wird. Begründen Sie mithilfe von geeigneten Eintragungen in Abbildung 1, dass $|\overline{T_u Q_u}| = \frac{f_0(u)}{f'_0(u)}$ für jeden Wert $u > 0$ gilt. [4 BE]

e

Es gibt Kreise, deren Mittelpunkte auf der y-Achse liegen und die den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $f_0$ in genau zwei Punkten berühren. Der Punkt $A(1|\frac{3}{4})$ ist ein Berührpunkt eines solchen Kreises. Bestimmen Sie rechnerisch die y-Koordinate des Mittelpunktes dieses Kreises. [5 BE]

$y_M =$

Betrachtet wird eine Wasserfontäne, bei der das Wasser aus einer Düse austritt. Die sich periodisch ändernde momentane Durchflussrate des Wassers an der Düse beeinflusst das Erscheinungsbild der Fontäne.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto -\frac{\pi}{4} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} x\right) + 1$ beschreibt im Folgenden für $x \ge 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an der Düse. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $h(x)$ die momentane Durchflussrate in Litern pro Sekunde. In Abbildung 2 ist der Graph von $h$ dargestellt.

a

Bestimmen Sie, wie oft die momentane Durchflussrate in der ersten Minute nach Beobachtungsbeginn ihren Maximalwert annimmt, und geben Sie einen Zeitpunkt an, zu dem die momentane Durchflussrate am stärksten zunimmt.

Betrachtet wird eine Wasserfontäne, bei der das Wasser aus einer Düse austritt. Die sich periodisch ändernde momentane Durchflussrate des Wassers an der Düse beeinflusst das Erscheinungsbild der Fontäne.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto -\frac{\pi}{4} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} x\right) + 1$ beschreibt im Folgenden für $x \ge 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an der Düse. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $h(x)$ die momentane Durchflussrate in Litern pro Sekunde. In Abbildung 2 ist der Graph von $h$ dargestellt.

b

Berechnen Sie $\int_5^9 h(x)\,\mathrm{d}x$ und interpretieren Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

Betrachtet wird eine Wasserfontäne, bei der das Wasser aus einer Düse austritt. Die sich periodisch ändernde momentane Durchflussrate des Wassers an der Düse beeinflusst das Erscheinungsbild der Fontäne.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto -\frac{\pi}{4} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3} x\right) + 1$ beschreibt im Folgenden für $x \ge 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an der Düse. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $h(x)$ die momentane Durchflussrate in Litern pro Sekunde. In Abbildung 2 ist der Graph von $h$ dargestellt.

c

Betrachtet wird nun eine andere Düse, bei der sich die momentane Durchflussrate ebenfalls periodisch mit der Zeit ändert. Die maximale momentane Durchflussrate beträgt 2 Liter pro Sekunde und die Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maximalwerten der momentanen Durchflussrate ist 1,5-mal so groß wie bei der zuerst betrachteten Düse. Skizzieren Sie dazu passend in Abbildung 2 einen Graphen, der für $x \ge 0$ eine mögliche zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers für die nun betrachtete Düse beschreibt.

1 Aufgabe

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g_a: x \mapsto e^x + a \cdot e^{-x}$ mit $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $g_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

a)

Begründen Sie, dass $G_a$ für jeden Wert von $a$ vollständig oberhalb der x-Achse verläuft. Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von $G_a$ mit der y-Achse an und berechnen Sie die Steigung von $G_a$ in diesem Punkt.

b)

In Abbildung 1 sind für eine bestimmte Zahl $k > 1$ die Graphen von $g_a$ zu folgenden Werten von $a$ dargestellt: $\frac{1}{k}$, $k$ und $k^2$.

Ordnen Sie jedem dieser drei Werte von $a$ den zugehörigen Graphen zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

Graph I:

Graph II:

Graph III:

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a: x \mapsto g_a\left(x + \frac{1}{2}\ln a\right)$ mit $a \in \mathbb{R}^+$.

c)

Zeigen Sie rechnerisch, dass $h_a(x) = \sqrt{a} \cdot (e^x + e^{-x})$ gilt und dass der Graph von $h_a$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

d)

Begründen Sie mithilfe von $h_a$, dass $G_a$ symmetrisch bezüglich einer Gerade ist, und geben Sie eine Gleichung dieser Gerade in Abhängigkeit von $a$ an.

Abbildung 2 stellt schematisch die Vorderansicht einer Bahnhofshalle mit zwei Einfahrten für Züge dar. Die Vorderansicht wird modellhaft durch das zur $y$-Achse symmetrische Flächenstück beschrieben, das die $x$-Achse, die Geraden mit den Gleichungen $x = -1{,}2$ und $x = 1{,}2$ sowie der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto 2{,}6 - 0{,}5 \cdot (e^x + e^{-x})$ einschließen. Dabei stellt der Graph von $f$ für $-1{,}2 \le x \le 1{,}2$ die Profillinie des Dachs dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $20\text{ m}$ in der Realität.

a)

Zeigen Sie, dass die Bahnhofshalle $48\text{ m}$ breit ist, und berechnen Sie ihre Höhe.

Abbildung 2 stellt schematisch die Vorderansicht einer Bahnhofshalle mit zwei Einfahrten für Züge dar. Die Vorderansicht wird modellhaft durch das zur $y$-Achse symmetrische Flächenstück beschrieben, das die $x$-Achse, die Geraden mit den Gleichungen $x = -1{,}2$ und $x = 1{,}2$ sowie der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto 2{,}6 - 0{,}5 \cdot (e^x + e^{-x})$ einschließen. Dabei stellt der Graph von $f$ für $-1{,}2 \le x \le 1{,}2$ die Profillinie des Dachs dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $20\text{ m}$ in der Realität.

b)

Der Flächeninhalt, den die beiden Einfahrten in der Vorderansicht einnehmen, beträgt insgesamt etwa $447\text{ m}^2$. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Teils der Vorderansicht, der in Abbildung 2 durch die grau markierte Fläche dargestellt wird.

Abbildung 2 stellt schematisch die Vorderansicht einer Bahnhofshalle mit zwei Einfahrten für Züge dar. Die Vorderansicht wird modellhaft durch das zur $y$-Achse symmetrische Flächenstück beschrieben, das die $x$-Achse, die Geraden mit den Gleichungen $x = -1{,}2$ und $x = 1{,}2$ sowie der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f \colon x \mapsto 2{,}6 - 0{,}5 \cdot (e^x + e^{-x})$ einschließen. Dabei stellt der Graph von $f$ für $-1{,}2 \le x \le 1{,}2$ die Profillinie des Dachs dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $20\text{ m}$ in der Realität.

c)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Profillinie des Dachs und die linke Seitenkante in der Vorderansicht einschließen (vgl. Abbildung 2).

d)

Im Modell beschreibt die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r\colon x \mapsto 0{,}75 - 10\cdot(x-0{,}5)^4$ für $0{,}1 \le x \le 0{,}9$ den oberen Rand der rechten Einfahrt. Unterhalb des oberen Rands dieser Einfahrt befindet sich eine Signalleuchte, die im Modell durch den Punkt $P(0{,}8\mid 0{,}6)$ beschrieben werden kann. Betrachtet wird die folgende Rechnung im Zusammenhang mit einem Punkt $Q(x_Q\mid r(x_Q))$:$$\frac{r(x_Q)-0{,}6}{x_Q-0{,}8}\cdot r'(x_Q) = -1 \iff x_Q = 0{,}835...$$$$\text{damit: } \sqrt{(0{,}8 - x_Q)^2 + (0{,}6 - r(x_Q))^2} \cdot 20 \approx 0{,}85$$Geben Sie die Bedeutung des Ergebnisses $0{,}85$ dieser Rechnung im Sachzusammenhang an und erläutern Sie den Ansatz, mit dem in der ersten Zeile der Rechnung die x-Koordinate des Punktes $Q$ ermittelt wird.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 5\cdot \mathrm{e}^{-\frac{3}{5}x} - 5$. Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ von $f$.

Die Umkehrfunktion von $f$ wird mit $g$ bezeichnet. Abbildung 2 zeigt die Graphen von $f$ und $g$.

Eine der Tangenten an $G_f$ hat die Steigung $-1$. Diese Tangente wird mit $t$ bezeichnet; $t$ berührt $G_f$ im Punkt $Q(x_Q \mid f(x_Q))$.

a

Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass $G_f$ streng monoton fallend ist und durch den Koordinatenursprung verläuft. Geben Sie den Grenzwert $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ an.

e

Geben Sie den Definitionsbereich von $g$ an und zeigen Sie, dass $g(x) = -\frac{5}{3} \cdot \ln\left(\frac{1}{5}x + 1\right)$ gilt.

g

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass die Tangente $t$ auch den Graphen von $g$ berührt, und zwar im Punkt $P(f(x_Q) \mid x_Q)$.

h

Zeichnen Sie das Viereck $PQRS$ mit $R(x_Q \mid g(x_Q))$ und $S(g(x_Q) \mid x_Q)$ in Abbildung 2 ein. Begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Vierecks durch den folgenden Term angegeben wird:$$\frac{\overline{PQ} + \overline{RS}}{2} \cdot \frac{\overline{PQ} - \overline{RS}}{2}$$

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 5\cdot \mathrm{e}^{-\frac{3}{5}x} - 5$. Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ von $f$.

Die Umkehrfunktion von $f$ wird mit $g$ bezeichnet. Abbildung 2 zeigt die Graphen von $f$ und $g$.

Eine der Tangenten an $G_f$ hat die Steigung $-1$. Diese Tangente wird mit $t$ bezeichnet; $t$ berührt $G_f$ im Punkt $Q(x_Q \mid f(x_Q))$.

b

Durch $F(x) = -\frac{25}{3} \cdot e^{-\frac{3}{5}x} - 5x$ ist ein Term einer Stammfunktion von $f$ gegeben. Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int_0^{\frac{5}{3}} f(x) \, dx$.

c

Begründen Sie, dass die folgende Aussage wahr ist, ohne einen Term einer Stammfunktion von $f$ zu verwenden: Es gibt genau eine reelle Zahl $k$ mit $k > 0$, die Lösung der Gleichung $\int_{-1}^0 f(x) \, dx = -\int_0^k f(x) \, dx$ ist.

d

Nachfolgend sind die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs zu einer Aufgabe im Zusammenhang mit der Funktion $f$ dargestellt. Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an. $$V_1 = \pi \cdot \int_0^4 (f(x))^2 \, dx \approx 141{,}02$$$$V_2 = \pi \cdot (f(4))^2 \cdot 4 \approx 259{,}74$$$$\frac{V_1}{V_2} \approx 0{,}54 \text{, der gesuchte Anteil beträgt somit etwa } 54\,\%.$$

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 5\cdot \mathrm{e}^{-\frac{3}{5}x} - 5$. Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ von $f$.

Die Umkehrfunktion von $f$ wird mit $g$ bezeichnet. Abbildung 2 zeigt die Graphen von $f$ und $g$.

Eine der Tangenten an $G_f$ hat die Steigung $-1$. Diese Tangente wird mit $t$ bezeichnet; $t$ berührt $G_f$ im Punkt $Q(x_Q \mid f(x_Q))$.

f

Eine der Tangenten an $G_f$ hat die Steigung $-1$. Diese Tangente wird mit $t$ bezeichnet; $t$ berührt $G_f$ im Punkt $Q(x_Q \mid f(x_Q))$.

Berechnen Sie die Koordinaten von $Q$.

(zur Kontrolle: $x_Q = \frac{5}{3} \cdot \ln 3$)