Exercici 3 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña Setembre Serie 2 2026

Exercici 3 [2,5 punts en total]

En una assignatura d'un màster de dos anys, el 70 % dels estudiants són de primer curs i la resta són de segon curs. Segons dades de cursos anteriors, la probabilitat d'aprovar l'assignatura és del 60 % per als estudiants de primer curs i del 85 % per als de segon curs.

FÓRMULES PER A RESOLDRE L'EXERCICI:

$Z \sim \text{normal}(0, 1) \rightarrow P(-1,96 \le Z \le 1,96) = 0,95$ i $P(-2,58 \le Z \le 2,58) = 0,99$

Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma \in (0, 1)$:

— per a la proporció (mostres grans):

$$\left[ \hat{p} - z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right]$$

— per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda):

$$\left[ \bar{x} - z_\gamma \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_\gamma \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]$$

— per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda):

$$\left[ \bar{x} - z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_\gamma \frac{s}{\sqrt{n}} \right]$$

3.1.

Si escollim un estudiant a l'atzar, quina és la probabilitat que aprovi l'assignatura? Si sabem que un estudiant ha aprovat l'assignatura, quina és la probabilitat que sigui de primer curs? [1,25 punts]

3.2.

El professor vol estimar la nova proporció d'estudiants que aproven l'assignatura després d'introduir un nou mètode d'ensenyament. Per fer-ho, selecciona una mostra aleatòria de $n = 80$ estudiants i observa que 55 d'ells han aprovat.

Trobeu un interval de confiança del 95 % per a la proporció $p$ d'aprovats amb el nou mètode. L'interval obtingut permet afirmar que el nou mètode ha millorat la taxa d'aprovats respecte de la situació anterior? Raoneu la resposta. [1,25 punts]