Exercici 1 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña Setembre Serie 2 2026

Una empresa comercialitza un accessori tecnològic. Segons diversos estudis de mercat, la relació entre el preu de venda $p$ (en euros) i la quantitat demanada setmanal $d(p)$ (en unitats) és donada per la funció $d(p) = 500 - 10p - p^2$, $0 < p < 15$.

Es defineix també l'ingrés setmanal de l'empresa com a $I(p) = p \cdot d(p)$.

1.1.

Determineu el preu $p$ que maximitza l'ingrés setmanal $I(p)$. Per a aquest preu, calculeu la quantitat demanada setmanal corresponent i el valor de l'ingrés màxim.

[1,5 punts]

1.2.

El concepte de l'elasticitat de la demanda respecte al preu mesura la sensibilitat de la quantitat demanada davant dels canvis relatius en el preu. Per a funcions derivables, l'elasticitat de la demanda respecte al preu és donada per l'expressió:

$$E(p) = \frac{p}{d(p)} d'(p)$$

on $d'(p)$ denota la derivada de la funció $d(p)$.

Calculeu l'expressió de l'elasticitat de la demanda respecte al preu $E(p)$ i determineu-ne el valor per a un preu de $5\text{ €}$ i per a un preu de $10\text{ €}$.

[1 punt]