Problema 5 · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2024

Tema: Estudio de funciones: límites, continuidad, derivadas y representación · Del examen Ordinaria (2024)

Enunciado

Problema 5. Sea la función f(x)=kxe2xf(x) = \dfrac{kx}{e^{2x}} donde kk es un parámetro real. Se pide:

a)

Obtener el dominio y las asíntotas de f(x)f(x). (3 puntos)

b)

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) y sus máximos y mínimos. (5 puntos)

c)

Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo [−1,1][-1, 1]. (2 puntos)

Enunciado: Problema 5 · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Obtener el dominio y las asíntotas de f(x).

Solución: Dom(f) = ℝ. Asíntota horizontal en y = 0 cuando x → +∞. No hay asíntotas verticales ni oblicuas.

b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) y sus máximos y mínimos.

Solución: Si k > 0: creciente en (-∞, 1/2), decreciente en (1/2, +∞), máximo en (1/2, k/(2e)). Si k = 0: función constante. Si k < 0: decreciente en (-∞, 1/2), creciente en (1/2, +∞), mínimo en (1/2, k/(2e)).

c) Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo [-1, 1].

Solución: f(0) = 0 para cualquier k, y 0 ∈ [-1, 1]. (O bien por el teorema de Bolzano si k ≠ 0).

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