Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Galicia 2024 · Ordinaria

EJERCICIO 1. Álgebra. Considere la ecuación matricial $X \cdot A + B = A \cdot B^t$, en donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de $B$, siendo $A$ y $B$ las matrices siguientes:

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Calcule, si es posible, la inversa de la matriz $A$ y el rango de la matriz $B$.

b)

Despeje la matriz $X$ en la ecuación matricial y, a continuación, calcule su valor.

EJERCICIO 2. Álgebra.

Considere el sistema de inecuaciones dado por:

$$x + 2y \le 40 \qquad x + y \ge 5 \qquad 3x + y \le 45 \qquad x \ge 0$$

a)

Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.

Vértice $A$: (

,

)

Vértice $B$: (

,

)

Vértice $C$: (

,

)

Vértice $D$: (

,

)

b)

Calcule el punto o puntos de esa región donde la función $f(x,y) = 2x - 3y$ alcanza su valor máximo y su valor mínimo.

Punto del máximo: (

,

) con valor

Punto del mínimo: (

,

) con valor

EJERCICIO 3. Análisis. El número de vehículos vendidos por un concesionario a lo largo del último año se estima que viene dado por la función

$$N(t) = \begin{cases} 28 - (t-4)^2, & 0 \le t < 6 \\ (t-10)^2 + 8, & 6 \le t \le 12 \end{cases}$$

en donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses.

a)

Determine los períodos de crecimiento y decrecimiento del número de vehículos vendidos. ¿Cuál ha sido el mayor número de vehículos vendidos? ¿Y el menor? ¿En qué momentos se han producido? Justifique sus respuestas.

b)

Con la información del apartado anterior, represente la gráfica de la función.

c)

¿Hubo algún período del año en el que el número de vehículos vendidos haya sido inferior a 12 unidades? Justifique su respuesta.

Considérese la siguiente función:

$$f(x) = ax^3 - 2x^2 + bx + c$$

donde $a, b, c$ son números reales.

a) Calcular $a$, $b$, $c$ sabiendo que la función $f(x)$ pasa por $(2,8)$ y que tiene un extremo relativo en $(0,16)$.

Considérese la siguiente función:

$$f(x) = ax^3 - 2x^2 + bx + c$$

donde $a, b, c$ son números reales.

b)

Para $a = b = 0$ y $c = 16$, calcule el área de la región limitada por la función $f(x)$ y la recta $y = 8$.

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad. Se estima que en una población el $20\%$ padece obesidad y que el $11\%$ padece obesidad y son hipertensos. Además, el $27{,}5\%$ de los hipertensos padecen obesidad.

a)

¿Qué porcentaje de la población padece obesidad o es hipertenso?

%

b)

¿Son independientes los sucesos "padecer obesidad" y "ser hipertensos"? Justifique su respuesta.

Sí

No

c)

Calcule la probabilidad de que un individuo que no padece obesidad sea hipertenso.

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad. Puede suponerse que el tiempo de formación, en horas, que necesita un empleado de una empresa para poder trabajar en una nueva planta sigue una distribución normal con desviación típica igual a $15$.

a)

Si en una muestra de $25$ empleados, el tiempo medio necesario fue de $97$ horas, calcule un intervalo de confianza con un $95\%$ de confianza para la media del tiempo de formación precisado.

b)

Si la media del tiempo de formación precisado es $\mu = 97$ horas, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio precisado de muestras de $36$ trabajadores se encuentre entre $90$ y $104$ horas?