Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Galicia 2022 · Ordinaria

EJERCICIO 1. Álgebra.

Dadas las matrices

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 3 & 6 \end{pmatrix}$$

a)

Calcule las matrices $A^2 - B$ y $A - I$, en donde $I$ representa la matriz identidad de orden 3.

b)

Calcule, si es posible, la inversa de la matriz $A - I$.

c)

Despeje $X$ en la ecuación matricial $X \cdot A + B = A^2 + X$ y calcule su valor.

EJERCICIO 2. Álgebra.

Una empresa fabrica teléfonos móviles con la misma pantalla en dos calidades distintas: calidad A, carcasa de plástico y calidad A⁺, carcasa de aluminio. El coste unitario de producción es de 70 € para los teléfonos de calidad A y de 90 € para los de calidad A⁺. Los precios de venta son de 100 € para los de clase A y de 150 € para los de clase A⁺. Si para fabricar la próxima remesa de móviles, la empresa dispone de un capital de 30.000 euros y su proveedor de componentes es capaz de suministrarle, como máximo, 350 pantallas (que se usan para ambas clases de móviles) y 310 carcasas de aluminio.

a)

Plantee el problema que determina el número de teléfonos móviles de cada calidad que se deben fabricar para maximizar el beneficio. Indique la función objetivo $f(x, y)$ considerando $x$ los de calidad A e $y$ los de calidad A⁺.

b)

Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices. Suba la imagen del dibujo con los ejes y la región acotada.

c)

Determine una solución óptima y halle el valor óptimo de la función objetivo.

EJERCICIO 3. Análisis. En una zona protegida de un parque natural el número de aves $N(t)$, en cientos, en función del tiempo $t$ (años transcurridos desde que se contabilizan las aves) viene dado por la función:$$N(t) = \begin{cases} t^2 - 8t + 50 & \text{si } 0 \le t \le 10 \\ 95 - \dfrac{250}{t} & \text{si } t > 10 \end{cases}$$

a)

Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $N(t)$. ¿Entre qué años crece la función? ¿Entre qué años decrece?

b)

¿Cuándo se alcanza el número mínimo de aves en el parque? ¿Cuántas aves hay en ese momento?

c)

Calcule el intervalo de tiempo en el que la población de aves se mantiene entre 5000 y 7500 aves. ¿A qué valor tiende la población de aves con el paso del tiempo?

Dada la función $f(x) = x^3 - ax^2 + 8x$

EJERCICIO 4. Análisis.

a)

Calcule el valor del parámetro "$a$" teniendo en cuenta que la función $f(x)$ presenta un punto de inflexión en $x = 2$.

Dada la función $f(x) = x^3 - ax^2 + 8x$

b)

Para $a = 6$, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje OX.

u²

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad. Un estudio revela que $2$ de cada $5$ habitantes de una determinada población son menores de $30$ años, el $70\%$ de los habitantes realizan ejercicio físico con regularidad y el $30\%$ de los habitantes son menores de $30$ años y realizan ejercicio físico con regularidad.

a)

¿Qué porcentaje de la población ni es menor de $30$ años ni realiza ejercicio físico con regularidad?

%

b)

¿Cuál es la probabilidad de que un habitante que no realiza ejercicio físico con regularidad sea menor de $30$ años?

c)

¿Son independientes los sucesos ser menor de $30$ años y realizar ejercicio físico con regularidad? Justifique la respuesta.

Sí

No

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad

Tomamos una muestra aleatoria de 36 facturas de consumo mensual de luz (en euros) y el intervalo de confianza obtenido al 95% para el consumo mensual medio es $[60{,}1;\, 69{,}9]$. Según esta información:

a)

¿Cuál fue el consumo medio muestral de luz?

€

b)

¿Cuál es el error máximo cometido?

€

c)

Determine un intervalo de confianza al 90% para el consumo medio de luz.

(

;

)