Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Galicia 2021 · Ordinaria

EJERCICIO 1. Álgebra. Dadas las matrices:$$A = \begin{pmatrix} m & 4 & 4 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$

a)

Determine para qué valores de $m$ existe la matriz inversa de $A$.

b)

Despeje la matriz $X$ tal que $X \cdot A + B = C$ y calcúlela para $m = 1$.

EJERCICIO 2. Álgebra. Consideramos el siguiente sistema de inecuaciones:

$$y \le x + 2$$

$$x + y \le 6$$

$$x \le 5$$

$$y \ge 0$$

a)

Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.

b)

Determine el punto o puntos de esa región en donde la función $f(x, y) = x - y$ alcanza sus valores máximo y mínimo.

c)

Determine esos valores máximo y mínimo.

EJERCICIO 3. Análisis. La cantidad de $\mathrm{CO}_2$ (en millones de toneladas) emitida a la atmósfera por una determinada región a lo largo del año 2020, viene dada por la función$$C(t) = \begin{cases} 5 - \dfrac{t}{3}, & 0 \le t < 6 \\ \dfrac{1}{4}t^2 - 4t + 18, & 6 \le t \le 12 \end{cases}$$siendo $t$ el tiempo transcurrido en meses desde comienzo del año.

a)

Estudie en qué períodos se ha producido un aumento/disminución de la cantidad de $\mathrm{CO}_2$ emitida a la atmósfera.

b)

¿Cuáles son las cantidades máxima y mínima de $\mathrm{CO}_2$ emitidas a la atmósfera a lo largo del año 2020? ¿En qué momentos se produjeron?

c)

Represente la gráfica de la función $C(t)$ teniendo en cuenta el estudio realizado en los apartados anteriores.

Un fabricante de automóviles hace un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, a lo largo de los diez últimos años, y comprueba que éstos se ajustan a la función:

$$B(t) = t^3 - 18t^2 + 81t - 3 \quad \text{si } 0 \le t \le 10, \ (t \text{ en años})$$

a)

¿Qué beneficios obtuvo la empresa el último año del estudio?

b)

Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios:

c)

¿En qué años se producen los beneficios máximos y mínimos y a cuánto ascienden?

Un fabricante de automóviles hace un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, a lo largo de los diez últimos años, y comprueba que éstos se ajustan a la función:

$$B(t) = t^3 - 18t^2 + 81t - 3 \quad \text{si } 0 \le t \le 10, \ (t \text{ en años})$$

d)

Calcule $\int_1^2 B(t)\,dt$.

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad. En una población el 45 % son hombres. El 27% de esa población resulta ser hombre y lector de prensa deportiva, mientras que un 38.5% es mujer y no lectora de esa prensa.

a)

De las mujeres, ¿qué porcentaje lee prensa deportiva?

%

b)

¿Qué porcentaje es mujer o lee prensa deportiva?

%

c)

De los lectores de prensa deportiva, ¿qué porcentaje son hombres?

%

d)

¿Son incompatibles los sucesos ser hombre y no leer prensa deportiva? Justifique la respuesta.

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad. Una compañía de seguros quiere determinar qué proporción de sus clientes estaría dispuesta a aceptar una subida de tarifas a cambio de un incremento en sus prestaciones. Una encuesta previa indica que esta proporción está en torno al 15 %.

a)

¿De qué tamaño mínimo debería ser la muestra si se quiere estimar dicha proporción con un error inferior a 0,08 y un nivel de confianza del 95 %?

Finalmente, se realiza el estudio con una muestra de 196 clientes, de los que 37 manifestaron su conformidad con la propuesta.

b)

Calcule un intervalo de confianza, al 92 %, para la proporción de clientes de la compañía que aceptaría dicha propuesta. ¿Cuál es el error máximo cometido?