Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Galicia 2025 · Ordinaria

En la actualidad, existen varias empresas de cosméticos orientadas hacia el público juvenil que elaboran cremas para la piel. Una empresa quiere comercializar una nueva crema para reducir los brotes de acné, para lo que ha contratado los servicios de una compañía de publicidad. Los publicistas proponen lanzar una primera campaña empleando anuncios en prensa escrita y buzoneo. Una vez finalizada esta primera campaña, si la probabilidad de que la nueva crema sea conocida entre el público juvenil es menor que 0,6, pasarán a una segunda campaña colocando cartelería luminosa en lugares estratégicos.

Después de analizar los datos de la primera campaña, han llegado a las siguientes conclusiones: la probabilidad de que el público juvenil conozca la nueva crema por los anuncios en prensa escrita es 0,3 y la probabilidad de que sea conocida por buzoneo es 0,4. Puede suponerse que son independientes los sucesos "conocer la nueva crema por prensa escrita" y "conocer la nueva crema por buzoneo".

1.1.

¿Lanzará la empresa la segunda campaña de publicidad? [1 punto]

Sí

No

1.2.

Suponga que la empresa ha decidido emplear la cartelería luminosa. De los que conocen la nueva crema por buzoneo el 25% también la conocen por la cartelería luminosa, y entre los que conocen la nueva crema por la cartelería luminosa, el 20% también la conocen por buzoneo. De los tres medios empleados (prensa escrita, buzoneo y cartelería luminosa), ¿cuál ha sido el que ha tenido mayor impacto para que la nueva crema sea conocida? [1 punto]

1.3.

¿Son incompatibles los sucesos "conocer la nueva crema por prensa escrita" y "conocer la nueva crema por buzoneo"? [0,5 puntos]

Sí

No

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1. Dada la matriz

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

2.1.1.

Calcule la matriz inversa de $A$, $A^{-1}$.

2.1.2.

Calcule la inversa de la matriz traspuesta de $A$, $(A^t)^{-1}$, utilizando el apartado anterior.

2.1.3.

Despeje y calcule el valor de $X$ en la siguiente ecuación matricial $AX - A^t = X$.

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2,5 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.2. Se considera el sistema de inecuaciones dado por:

$$\begin{cases} x \ge y - 4 \\ x + y \le 8 \\ 3x + 2y \ge -2 \\ x - 2 \le 2y \end{cases}$$

2.2.1.

Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.

2.2.2.

Justifique si los puntos $P(-1, 1)$ y $Q(5, 1)$ pertenecen o no a la región anterior.

2.2.3.

Determine, si existen, los máximos y los mínimos de la función $f(x, y) = 2x - 4y$ sujeta a las restricciones definidas por el sistema de inecuaciones anterior.

Dada la función $f(x) = ax^2 + bx - 3$, siendo $a, b$ números reales.

3.1. Dada la siguiente función

$$B(t) = (4 - t)(t - 1)^2 \quad, \quad 0 \le t \le 4$$

3.1.1.

Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función y sus máximos y mínimos, si existen.

3.1.2.

Estudie sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión, si existen.

3.1.3.

Represente la gráfica de la función $B(t)$.

Dada la función $f(x) = ax^2 + bx - 3$, siendo $a, b$ números reales.

3.2.1.

Calcule $a$ y $b$ sabiendo que dicha función pasa por el punto $(4, 5)$ y tiene un mínimo en $x = 1$.

Dada la función $f(x) = ax^2 + bx - 3$, siendo $a, b$ números reales.

3.2.2.

Para $a = 1$ y $b = -2$, calcule el área limitada por $f(x)$ y la recta $y = x - 3$.

PREGUNTA 4. TRES BLOQUES DE LA MATERIA. (2,5 puntos)

Responda uno de los siguientes apartados: 4.1., 4.2. o cualquiera de los apartados no escogidos de las preguntas 2 y 3 (2.1, 2.2, 3.1 o 3.2)

4.1. Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que:

$P(A) = 0{,}40$, $P(A \cap B) = 0{,}21$ y $P(A|B) = 0{,}60$.

4.1.1.

Calcule $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ y $P(\bar{B}|A)$.

4.1.2.

Justifique si los sucesos $A$ y $B$ son o no independientes.

PREGUNTA 4. TRES BLOQUES DE LA MATERIA. (2,5 puntos)

Responda uno de los siguientes apartados: 4.1., 4.2. o cualquiera de los apartados no escogidos de las preguntas 2 y 3 (2.1, 2.2, 3.1 o 3.2)

4.2. Una encuesta realizada a 100 individuos de una población revela que 80 de ellos están satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica.

4.2.1.

Calcule un intervalo con un 95% de confianza para la proporción de individuos satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica.

4.2.2.

Si se sabe que 8 de cada 10 individuos están satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica y se toma una muestra de 100 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de individuos satisfechos con el servicio de su compañía eléctrica sea superior al 87%?