Ejercicio 2.2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Castilla y León Extraordinaria 2025

Límite por la izquierda en $t = 2$, $\displaystyle\lim_{t \to 2^-} f(t)$:

Solución: 5

Límite por la derecha en $t = 2$, $\displaystyle\lim_{t \to 2^+} f(t)$:

Solución: 5

¿Es la función $f(t)$ continua en su dominio $[0, +\infty)$? Indicar «Sí» o «No»:

Solución: Sí

Justificación del estudio de la continuidad:

Solución: En el intervalo $[0, 2)$, la función $f(t) = \frac{3}{4}t^2 + 2$ es una función polinómica de segundo grado, por lo que es continua en todo el intervalo. En el intervalo $(2, +\infty)$, la función $f(t) = \frac{15}{t+1}$ es una función racional cuyo denominador se anula únicamente en $t = -1$, punto que queda fuera del intervalo, por lo que también es continua. En el punto de unión $t = 2$: - $f(2) = \frac{3}{4}(2)^2 + 2 = 5$ - $\lim_{t \to 2^-} f(t) = \lim_{t \to 2^-} \left(\frac{3}{4}t^2 + 2\right) = 5$ - $\lim_{t \to 2^+} f(t) = \lim_{t \to 2^+} \frac{15}{t+1} = \frac{15}{3} = 5$ Al coincidir los límites laterales con el valor de la función, $\lim_{t \to 2} f(t) = f(2) = 5$, la función es continua en $t = 2$. En conclusión, $f(t)$ es continua para todo $t \ge 0$.