Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Canarias 2023 · Junio

A1. Probabilidad de retrasos

En un aeropuerto operan tres líneas aéreas: LAVOLONA, NUBERIA y BRINKEN. El 30% de las llegadas diarias corresponden a la compañía LAVOLONA, el 25% a NUBERIA y el resto a BRINKEN. La proporción de vuelos que llegan con retraso es del 5% para los de LAVOLONA, el 8% para los de NUBERIA y el 12% para los de BRINKEN.

a)

Dibujar el correspondiente árbol de probabilidades.

b)

Se ha ido a recoger un pasajero al aeropuerto y el avión llega con retraso. ±Cuál es la probabilidad de que el avión pertenezca a la compañía NUBERIA?

c)

Suponiendo que los retrasos se producen independientemente unos de otros, si los dos próximos aterrizajes corresponden a sendos aviones de la compañía BRINKEN, ±cuál es la probabilidad de que alguno de ellos llegue con retraso?

B1. Aproximación de Binomial por Normal

Segón un determinado estudio, la probabilidad de que un cliente realice una compra, en una tienda de un centro comercial, es del 10%. En una muestra aleatoria de 500 clientes, calcular la probabilidad de que:

a)

Entre 40 y 60 clientes realicen una compra.

b)

Al menos, 435 clientes no hayan comprado.

c)

Al menos 45 clientes realicen una compra.

A2. Proporciones e Intervalos de Confianza

En una muestra de 150 estudiantes, de un determinado grado universitario, 90 utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual.

a)

Determinar la proporción muestral de los estudiantes de ese grado que no utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual.

b)

Determinar un intervalo de confianza al 99% para la proporción de estudiantes de ese grado que utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual.

c)

Si se mantiene la proporción muestral del apartado a), para una muestra de 450 estudiantes del referido grado, ±cuál es el intervalo de confianza al 97% para la proporción de estudiantes que no utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual?

En una encuesta se pregunta a 10000 jóvenes sobre el número de botellines de cerveza que consumen a la semana, resultando una media de 5 botellines y una desviación típica de 2 botellines. Suponiendo que esta variable es normal:

a)

Determinar un intervalo de confianza al 80% para el número medio de botellines consumidos a la semana.

(

,

)

b)

Si, para estimar el número medio de botellines de cerveza que consumen a la semana, se admite un error máximo de 0,25 botellines, con un nivel de confianza igual a 0,9 y manteniendo la desviación típica inicial, ¿a cuántos jóvenes en necesario entrevistar?

c)

Si la encuesta se realizara a 8500 jóvenes y se obtuviera la misma media de 5 botellines y, con una confianza del 82%, se obtuviera el mismo intervalo del apartado a), ¿cuál debería ser la desviación típica?

Una empresa, que se dedica a la venta de material tecnológico, tiene unos beneficios (en miles de euros) dados por la función:

$$B(x) = \begin{cases} \dfrac{3x}{2}, & \text{si } 0 \le x < 2 \\ x^2 - 5x + 9, & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 5, & \text{si } x > 4 \end{cases}$$

donde $x$ es el tiempo en años.

a)

Hacer una gráfica de $B(x)$. ¿Es esta función continua? ¿Es derivable?

Sí

No

Sí

No

Una empresa, que se dedica a la venta de material tecnológico, tiene unos beneficios (en miles de euros) dados por la función:

$$B(x) = \begin{cases} \dfrac{3x}{2}, & \text{si } 0 \le x < 2 \\ x^2 - 5x + 9, & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 5, & \text{si } x > 4 \end{cases}$$

donde $x$ es el tiempo en años.

b)

¿Cuándo aumentan y cuándo disminuyen dichos beneficios?

Una empresa, que se dedica a la venta de material tecnológico, tiene unos beneficios (en miles de euros) dados por la función:

$$B(x) = \begin{cases} \dfrac{3x}{2}, & \text{si } 0 \le x < 2 \\ x^2 - 5x + 9, & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 5, & \text{si } x > 4 \end{cases}$$

donde $x$ es el tiempo en años.

c)

¿En qué año o años el beneficio es igual a 3000 euros?

Una empresa, que se dedica a la venta de material tecnológico, tiene unos beneficios (en miles de euros) dados por la función:

$$B(x) = \begin{cases} \dfrac{3x}{2}, & \text{si } 0 \le x < 2 \\ x^2 - 5x + 9, & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 5, & \text{si } x > 4 \end{cases}$$

donde $x$ es el tiempo en años.

Una empresa de juguetes fabrica molinillos de plástico como el que se muestra en la figura 1. Las cuatro aspas del molinillo son iguales. La figura 2 muestra una de estas aspas: por encima está limitada por la parábola $y = -0{,}24x^2 + 2x + 20$, por la izquierda por el eje de ordenadas, por la derecha por la recta $y = 4x - 24$ y, por debajo, por el eje de abscisas. Las unidades de los ejes se miden en cm.

a)

b)

Cada molinillo se fabrica en plástico, con un coste de fabricación de $1{,}4$ céntimos de euro por $\mathrm{cm}^2$ de superficie, al que se añaden $20$ céntimos por el palito que le sirve de soporte. Asimismo, el coste de distribución (transportar los molinillos desde la fábrica a los puntos de venta) es de $24$ céntimos por molinillo. ¿A qué precio se debe vender cada molinillo si se desea que el beneficio total obtenido con la venta (precio de venta menos costes de fabricación y distribución) sea un $20\%$ del precio de venta?

Dos modelos de relojes, A y B, se producen en una fábrica en la que hay 12 personas trabajando, cada una de ellas con una jornada laboral de 8 horas diarias. El modelo A se tarda en hacer 3 horas y por él se obtiene un beneficio de 70 euros. El modelo B se tarda en hacer 6 horas y por él se obtiene un beneficio de 160 euros. La producción diaria debe ser como mínimo de 15 relojes, con la condición de que el número de unidades del modelo B sea como máximo la mitad del número de unidades del modelo A.

Para maximizar el beneficio diario:

a)

Formular el correspondiente problema de programación lineal (función objetivo y restricciones).

b)

Representar la región factible.

c)

¿Cuántos relojes de cada tipo le interesa producir al día para obtener el máximo beneficio diario? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?

B4. En un barrio viven un total de 875 personas clasificados en tres grupos: niños y jóvenes, adultos y jubilados. La cuarta parte de los adultos es igual al doble de la quinta parte de los niños y jóvenes y por cada 9 jubilados hay 26 del resto.

a)

Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.

b)

Explicando los pasos del método usado, resolver el sistema planteado.

c)

¿Cuántas personas hay en cada grupo?