Ejercicio B3 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Canarias Junio 2023

Una empresa, que se dedica a la venta de material tecnológico, tiene unos beneficios (en miles de euros) dados por la función:

$$B(x) = \begin{cases} \dfrac{3x}{2}, & \text{si } 0 \le x < 2 \\ x^2 - 5x + 9, & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 5, & \text{si } x > 4 \end{cases}$$

donde $x$ es el tiempo en años.

Una empresa de juguetes fabrica molinillos de plástico como el que se muestra en la figura 1. Las cuatro aspas del molinillo son iguales. La figura 2 muestra una de estas aspas: por encima está limitada por la parábola $y = -0{,}24x^2 + 2x + 20$, por la izquierda por el eje de ordenadas, por la derecha por la recta $y = 4x - 24$ y, por debajo, por el eje de abscisas. Las unidades de los ejes se miden en cm.

a)

b)

Cada molinillo se fabrica en plástico, con un coste de fabricación de $1{,}4$ céntimos de euro por $\mathrm{cm}^2$ de superficie, al que se añaden $20$ céntimos por el palito que le sirve de soporte. Asimismo, el coste de distribución (transportar los molinillos desde la fábrica a los puntos de venta) es de $24$ céntimos por molinillo. ¿A qué precio se debe vender cada molinillo si se desea que el beneficio total obtenido con la venta (precio de venta menos costes de fabricación y distribución) sea un $20\%$ del precio de venta?