Pregunta 2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias Extraordinaria 2023

Tema: Programación lineal · Del examen Extraordinaria (2023)

Enunciado

Pregunta 2. Una empresa que usa dos tamaños de vehículos debe renovar su flota. Cada vehículo grande le costará 30 000 euros; cada vehículo pequeño, 20 000 euros y dispone de un presupuesto total de 500 000 euros para comprar vehículos. Debe comprar a lo sumo el doble de vehículos grandes que pequeños. El mantenimiento anual de cada vehículo pequeño lo calcula en 300 euros; el de cada uno grande, en 600 euros y dispone de un presupuesto anual total de 9000 euros para mantenimiento.

a)

[1.75 puntos] ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede comprar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se podrían comprar 8 vehículos grandes y 20 pequeños?

b)

[0.75 puntos] El beneficio esperado por cada vehículo grande es de 10 000 euros y por cada uno pequeño, de 6000 euros. ¿Cuántos vehículos debe comprar de cada tipo para maximizar el beneficio esperado? ¿Cuál sería ese beneficio esperado?

Enunciado: Pregunta 2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias Extraordinaria 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede comprar? Plantea el problema

Solución: {30000x+20000y≤500000x≤2y600x+300y≤9000x,y≥0  ⟺  {3x+2y≤50x−2y≤06x+3y≤90x,y≥0\begin{cases}30000x+20000y\le 500000\\ x\le 2y\\ 600x+300y\le 9000\\ x,y\ge 0\end{cases}\iff\begin{cases}3x+2y\le 50\\ x-2y\le 0\\ 6x+3y\le 90\\ x,y\ge 0\end{cases}

Representa gráficamente el conjunto de soluciones.

Solución: Se dibuja la región factible limitada por las rectas 3x+2y=503x+2y=50, x−2y=0x-2y=0 y 6x+3y=906x+3y=90 en el primer cuadrante. Es un cuadrilátero de vértices A=(0,25)A=(0,25), B=(10,10)B=(10,10), C=(12,6)C=(12,6) y D=(0,0)D=(0,0); las soluciones son los puntos de coordenadas enteras dentro de él.

¿Se podrían comprar 8 vehículos grandes y 20 pequeños?

Solución: Sí, porque el punto (8,20)(8,20) cumple todas las restricciones.

b) Vehículos grandes

Solución: 10

b) Vehículos pequeños

Solución: 10

b) Beneficio esperado máximo

Solución: 160 000 euros

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