Examen de Matemáticas II UB 2024 · Juny

Context

Instruccions generals: L'examen es divideix en dues parts corresponents als blocs de la matèria. Cada pregunta consta de cinc opcions de resposta amb una única opció correcta. En la qualificació, les respostes errònies penalitzen segons el barem indicat en cada convocatòria.

1 Part 1 - Pregunta 1. Propagació d'errors en el volum d'un dodecaedre

L'expressió que defineix el volum d'un dodecaedre regular d'aresta $a$ és $V = \frac{1}{4}(15 + 7\sqrt{5})a^3$. Sabent que l'aresta mesura $a = 2.000$ i s'utilitza $\sqrt{5} = 2.236$, ambdues quantitats arrodonides a quatre xifres significatives, determineu el valor del volum i el seu error absolut aplicant la fórmula general de propagació de l'error. (No feu servir la calculadora per trobar l'error de $\sqrt{5}$ de forma exacta; limiteu-vos a la informació subministrada).

Context

Instruccions generals: L'examen es divideix en dues parts corresponents als blocs de la matèria. Cada pregunta consta de cinc opcions de resposta amb una única opció correcta. En la qualificació, les respostes errònies penalitzen segons el barem indicat en cada convocatòria.

Considerem la taula següent de valors:

x · -1 · 1 · 2 · 4

y · -5 · 3 · -2 · 0

Quin dels següents polinomis interpoladors aproxima millor les dades tabulades?

Context

Instruccions generals: L'examen es divideix en dues parts corresponents als blocs de la matèria. Cada pregunta consta de cinc opcions de resposta amb una única opció correcta. En la qualificació, les respostes errònies penalitzen segons el barem indicat en cada convocatòria.

3 Part 1 - Pregunta 3. Ajust de model exponencial

La densitat de població de certs bacteris, $y$, evoluciona en funció del temps $t$ segons un model exponencial del tipus $y = a e^{bt}$. A partir de les observacions següents:

$t$ · 0 · 1 · 2 · 3 · 4

$y$ · 30 · 45 · 68 · 102 · 153

Els paràmetres estimats per mínims quadrats són:

Context

Instruccions generals: L'examen es divideix en dues parts corresponents als blocs de la matèria. Cada pregunta consta de cinc opcions de resposta amb una única opció correcta. En la qualificació, les respostes errònies penalitzen segons el barem indicat en cada convocatòria.

4 Part 1 - Pregunta 4. Cota de l'error de truncament de Taylor per a ln(1.2)

Si calculem el valor aproximat de $\ln(1.2)$ mitjançant el polinomi de Taylor d'ordre 3 centrat a $x_0 = 0$ per a la funció $f(x) = \ln(x + 1)$, quina és la millor cota de l'error de truncament comès?

Context

Instruccions generals: L'examen es divideix en dues parts corresponents als blocs de la matèria. Cada pregunta consta de cinc opcions de resposta amb una única opció correcta. En la qualificació, les respostes errònies penalitzen segons el barem indicat en cada convocatòria.

5 Part 1 - Pregunta 5. Polinomi de Taylor de segon ordre per a una EDO

Sigui $y(x)$ la solució del problema de valor inicial $y' = x^2 - \frac{y}{x}$ amb $y(1) = 2$. El polinomi de Taylor de segon ordre associat, centrat a $x_0 = 1$, és:

Context

Instruccions generals: L'examen es divideix en dues parts corresponents als blocs de la matèria. Cada pregunta consta de cinc opcions de resposta amb una única opció correcta. En la qualificació, les respostes errònies penalitzen segons el barem indicat en cada convocatòria.

Quin és l'ordre de l'error per a la fórmula de derivació següent?

$$f'(a) \approx \frac{-f(a + 2h) + 4f(a + h) - 3f(a)}{2h}$$

.

Context

Instruccions generals: L'examen es divideix en dues parts corresponents als blocs de la matèria. Cada pregunta consta de cinc opcions de resposta amb una única opció correcta. En la qualificació, les respostes errònies penalitzen segons el barem indicat en cada convocatòria.

7 Part 1 - Pregunta 7. Aritmètica d'intervals per a x - y/x

Si $x = 1 \pm 0.5$ i $y = 4 \pm 0.5$, determineu a quin interval pertany el resultat de l'operació $x - \frac{y}{x}$.

Context

Instruccions generals: L'examen es divideix en dues parts corresponents als blocs de la matèria. Cada pregunta consta de cinc opcions de resposta amb una única opció correcta. En la qualificació, les respostes errònies penalitzen segons el barem indicat en cada convocatòria.

8 Part 1 - Pregunta 8. Comparativa d'errors: Taylor vs Interpolació

Donada la funció $f(x) = \sin(x^2)$, es vol aproximar el seu valor a $x = 4.6$ mitjançant dos procediments:

Un polinomi de Taylor de grau 5 centrat a $x_0 = 0$.

Un polinomi d'interpolació a partir de 3 punts equiespaiats a l'interval $[4, 5]$ (és a dir, $x = 4, 4.5, 5$).

Indiqueu quin dels dos enfocaments genera un error menor. ( Nota: no és precís determinar l'expressió explícita de l'interpolador).

Part 2

9 Part 2 - Pregunta 1. Selecció de la llavor per al mètode de Newton-Raphson

Es pretén resoldre l'equació $f(x) = \frac{x^3}{3} - x + 4 = 0$ emprant el mètode de Newton-Raphson. Quin dels següents valors de $x_0$ és el més idoni per encetar la iteració? ( Consell: analitzeu els extrems de $x^3/3 - x$ i recordeu el comportament geomètric del mètode).

Part 2

Part 2 - Pregunta 2. Aproximació normal d'una distribució binomial

Els registres històrics mostren que la probabilitat que un alpinista perdi la vida intentant fer el cim del K2 és de 0.02. La propera temporada tenen previst intentar-ho 700 persones. Quina és la probabilitat aproximada que hi hagi més de 15 víctimes mortals? (Indicació: utilitzeu l'aproximació de la Binomial per la Normal; 'més de 15' fa referència a 16 o més).

Part 2

Part 2 - Pregunta 3. Millora per extrapolació de Richardson a la regla de Simpson

Suposem que s'ha avaluat la integral $\int_0^1 f(x)\,dx$ mitjançant la fórmula de Simpson composta $I_S(f, h)$ emprant dos passos diferents, $h = 0.004$ i $h = 0.002$, resultant en:

$$I_S(f, 0.004) = 0.7453200, \quad I_S(f, 0.002) = 0.7517800$$

Quina és la millor aproximació obtinguda aplicant extrapolació de Richardson sabent que el mètode de Simpson té ordre 4?

Part 2

Part 2 - Pregunta 4. Interval de confiança per a la mitjana muestral

Les avaluacions obtingudes per un docent en una enquesta presenten la distribució de freqüències següent:

nota · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10

freqüències · 0 · 5 · 0 · 7 · 8 · 0 · 7 · 11 · 3 · 0

Quin és l'interval de confiança del 95% per a la nota mitjana?

Part 2

L'equació $f(x) = 10x^4 - x\ln(x) - 3 = 0$ té una arrel a la vora del punt $x_0 = 0.75$. Quin dels següents procediments s'ha d'escollir per aproximar la solució?

Part 2

Calculeu el valor aproximat de $x(1)$ per al problema de valor inicial:

$$x'(t) = tx(t), \quad x(0) = 2$$

resolt exactament i mitjançant el mètode d'Euler implícit amb pas $h = 0.25$. En comparar ambdós resultats, l'error comès en valor absolut és aproximadament:

Part 2

Considerem el sistema d'equacions diferencials:

$$x' = -x^2 e^{x^2+y^2} - y^6, \quad y' = -53 \frac{2^{(y^2)}}{1 + x^2}$$

amb dades inicials $(x_0, y_0) = (1, 2)$. Si s'apliquen dos passos del mètode d'Euler explícit amb increment $h = 0.002$, quines són les coordenades aproximades $(x_2, y_2)$?

Part 2

Part 2 - Pregunta 8. Determinació del paràmetre d'encert en un model binomial

En una prova classificatòria de tir cal encertar a la diana almenys 4 vegades d'un total de 6 intents independents. Si un esportista vol garantir que la probabilitat de classificar-se sigui com a mínim del 50%, quin és el valor mínim de la probabilitat d'encert per tir, $p$, que ha d'assolir durant l'entrenament?