Examen de Matemáticas II UB 2021 · reavaluació - Juliol 2021

Pregunta 1. Propagació d'errors en la massa molar

Determineu la massa molar $M$ d'un gas ideal que a una temperatura de $T = 303.15 \pm 0.05\text{ K}$ i a una pressió de $P = 0.410 \pm 0.01\text{ atm}$ presenta una densitat de $\rho = 1.02 \pm 0.01\text{ g/l}$.

Dades addicionals: Considereu l'equació d'estat dels gasos ideals $PV = nRT$ amb $R = 0.082\text{ atm}\cdot\text{l}/(\text{K}\cdot\text{mol})$.

Pregunta 2. Error d'interpolació polinòmica

Sigui la funció $f(x) = \sin(2x)$ i considerem el seu polinomi d'interpolació $p_n(x)$ sobre els $n + 1$ punts equiespaiats $x_j = \frac{2\pi j}{n}$ per a $j = 0, \dots, n$ a l'interval $[0, 2\pi]$. Quin és el valor enter mínim de $n$ que garanteix que per a tot $x \in [0, 2\pi]$ es compleixi la condició $|p_n(x) - f(x)| < 10^{-8}$?

Pregunta 3. Coeficient de grau 3 del polinomi interpolador

Trobeu el coeficient corresponent al terme de grau 3 del polinomi interpolador associat a les dades següents:

$x$ · -1 · 0 · 1 · 2 · 3

$y$ · 0 · -1 · 5 · 4 · 2

Pregunta 4. Polinomi de Taylor de grau 3

Quin és el polinomi de Taylor d'ordre 3 centrat en $a = 0$ per a la funció $f(x) = \frac{\sin(x/2)}{1-x^2}$?

Pregunta 5. Cota d'error de truncament de Taylor

Sigui $f(x)$ una funció que té derivades fitades a l'interval $[0, 1]$ de manera que $|f^{(k)}(x)| \le 2^{-k}k!$. Si s'aproxima la funció $f$ pel seu polinomi de Taylor centrat en el punt $a = 0$ i d'ordre 13, per quin dels valors següents queda acotat superiorment l'error de truncament per a qualsevol $x \in [0, 1]$?

Pregunta 6. Derivació numèrica i extrapolació de Richardson

Recordem que la fórmula de derivació numèrica centrada

$$f'(x) \approx \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$$

és d'ordre 2. Donada la funció $f(x) = \sqrt{\sin(x)}$, si s'extrapolen els valors obtinguts per estimar $f'(0.25)$ utilitzant els passos $h = 0.01$ i $h = 0.005$, s'obté com a resultat:

Pregunta 7. Integració mitjançant el mètode de Romberg

Es vol calcular la integral $\int_0^1 e^{x^2} dx$ mitjançant la fórmula del trapezi composta emprant els passos $h = 1/2$ i $h = 1/4$. Si a continuació s'aplica el mètode de Romberg a aquests dos valors, el resultat resultant és:

Pregunta 8. Fita de subintervals per al trapezi compost

Per aproximar la integral $\int_0^{\pi/4} \tan(x)\,dx$ garantint un error inferior a $\varepsilon = 10^{-8}$ amb el mètode del trapezi compost, és suficient que el nombre $n$ de subintervals sigui:

Pregunta 9. Mètode de Newton per a una equació no lineal

Trobeu una solució de l'equació $\tan(0.1x) = 9.2e^{-x}$ amb 5 xifres decimals exactes mitjançant el mètode de Newton prenent com a condició inicial $x_0 = 3.5$:

Pregunta 10. Mètode de Newton modificat per a arrel múltiple

Es desitja aproximar $\sqrt{2}$ aplicant el mètode de Newton modificat tenint en compte que és una arrel doble del polinomi $P(x) = x^4 - 4x^2 + 4$. Prenent com a iterat inicial $x_0 = 1.5$, quant val el tercer iterat?

Pregunta 11. Distribució de la mitjana d'una mostra normal

El contingut $X$ (expressat en mil·ligrams) d'un cert principi actiu en les pastilles d'un fàrmac segueix una distribució normal $N(7.5, 0.3)$. Si s'extreu una mostra aleatòria simple de grandària $n = 5$, la probabilitat que la mitjana de la mostra sigui inferior a $7.0$ val:

.

Pregunta 12. Dades aparellades en una prova clínica

En la taula següent es recullen els nivells de glucèmia en sang registrats abans i després de l'administració d'un tractament mèdic a un grup de 7 pacients:

Abans

7.2

7.3

6.5

4.2

3.1

5.3

5.6

Després

5.2

5.4

5.3

4.7

4.1

5.4

4.9

Calculeu els valors de la mitjana mostral i de la desviació típica mostral corresponents a la reducció de glucèmia ( Abans - Després) provocada pel tractament: