Examen de Matemáticas II UB 2021 · parcial - Abril 2021

Pregunta 1. Aritmètica intervalar funció cosinus

Si considerem que $2.8 \le x \le 4$, aplicant l'aritmètica d'intervals es pot assegurar que l'expressió $1 - \frac{\cos x}{2}$ pertany a l'interval:

Pregunta 2. Fita d'error absolut en suma

Se sap que els valors 0.3278, 0.1653 i 0.2164 s'han obtingut arrodonint a la quarta xifra decimal. Com a màxim, l'error absolut de la seva suma (0.7095) és de:

Pregunta 3. Propagació d'errors d'una expressió

Es pretén calcular el valor de $E = \frac{2\sqrt{2}+4}{3\pi}$ emprant les aproximacions $\pi = 3.1 \pm 0.05$ i $\sqrt{2} = 1.4 \pm 0.05$. Utilitzant la fórmula de propagació d'errors per fitar l'error absolut, resulta:

.

Pregunta 4. Ajust per mínims quadrats de Freundlich

La isoterma d'adsorció de Freundlich descriu la quantitat de gas adsorbit per un sòlid adsorbent a temperatura constant en funció de la pressió del gas, mitjançant la relació:

$$\ln V = \ln K + \frac{1}{n} \ln P$$

Es disposa de les següents dades experimentals per al monòxid de carboni sobre carbó actiu:

$P\text{ (mmHg)}$ · 73 · 180 · 309 · 540 · 882

$V\text{ (cm}^3\text{)}$ · 7.5 · 16.5 · 25.1 · 38.1 · 52.3

Ajustant per mínims quadrats, les constants $K$ i $n$ de la isoterma són:

Pregunta 5. Ajust de model potencial o exponencial

Determineu els valors dels paràmetres $a$ i $b$ per a la següent taula sabent que segueixen el model $y = 1 + a \cdot b^x$:

$x$ · 0.25 · 0.75 · 1.25 · 1.75

$y$ · 4.00 · 7.50 · 16.0 · 34.25

Pregunta 6. Mètode de Gauss amb pivotatge màxim

Resoleu el sistema d'equacions lineals $Ax = b$ aplicant el mètode d'eliminació de Gauss amb pivotatge màxim per columnes, arrodonint tots els càlculs intermedis a tres xifres significatives, on:

$$A = \begin{pmatrix} 1.15 & -1.19 \\ -69.1 & 1.12 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} -3.12 \\ 1.25 \end{pmatrix}$$

Els 5 primers termes no nuls del desenvolupament en sèrie de Taylor centrat en $x_0 = 0$ de la funció $f(x) = e^x \sin(x^2)$ són:

El radi de convergència $R$ de la sèrie de potències centrada en $x_0 = 0$ corresponent a la funció $f(x) = \frac{x}{1+2x} + \exp(x+1)$ és:

L'expressió de la integral $\int_0^1 \frac{\ln(1+x^2)}{x}\,dx$ en forma de sèrie numèrica és:

Quin és el coeficient $c_3$ del monomi de grau 3 del polinomi interpolador de la següent taula de valors?

$x$ · -1 · 0 · 1 · 2 · 3

$y$ · 0 · -1 · 5 · 4 · 2

Pregunta 11. Fita d'error en interpolació de exp(x)

En estimar el valor de $e^{0.375}$ mitjançant la interpolació de la funció $f(x) = e^x$ en els nodes $\{0, 0.25, 0.50, 0.75, 1\}$, la millor fita de l'error és:

.

Pregunta 12. Estimació mitjançant polinomi interpolador

Les dades de la següent taula provenen d'un assaig per analitzar com depèn la temperatura de cristal·lització $T$ del contingut $X$ d'una determinada substància en dissolució:

$X\text{ (g/l)}$ · 1.2 · 2.5 · 3.3 · 4.5

$T\text{ (}^\circ\text{C)}$ · -1.50 · -0.390 · 0.320 · 1.40

Construint el polinomi interpolador a partir de totes les dades disponibles, per a un contingut de $X = 2.9\text{ g/l}$ la temperatura de cristal·lització deduïda és aproximadament:

.