Examen de Álgebra Lineal UB 2017 · Punt de Control 2 - Curs 2017/18

Exercici 1 (2 punts). Diagonalitzabilitat d'una matriu paramètrica

Sigui $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ l'endomorfisme que té per matriu associada en la base canònica:$$A = \begin{pmatrix} b & 0 & 0 \\ a & b & 0 \\ c & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \text{amb } a, b, c \in \mathbb{R}$$Feu l'estudi complet de la diagonalitzabilitat de $f$ segons els diferents valors que puguin prendre els paràmetres reals $a$, $b$ i $c$.

Es considera l'aplicació lineal $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definida per l'expressió analítica:

$$f(x, y, z) = (3x - z,\ 5y,\ -2x + 4z)$$

a.

Determineu els valors propis d'aquest endomorfisme. [1 p]

b.

Trobeu per a quin valor del paràmetre $a$ el vector $\vec{v} = (-1, 2, a)$ és vector propi associat al valor propi $\lambda = 5$. [1 p]

c.

Calculeu els vectors propis associats a l'endomorfisme $f$ (bases dels subespais fonamentals). [1 p]

d.

Justifiqueu si $f$ és diagonalitzable o no. En cas afirmatiu, especifiqueu una matriu de pas $P$ i la matriu diagonal $D$ de manera que $A = PDP^{-1}$, on $A$ és la matriu de $f$ en la base canònica. [1 p]

Es considera l'aplicació lineal $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definida per l'expressió analítica:

$$f(x, y, z) = (3x - z,\ 5y,\ -2x + 4z)$$

e.

Fent ús exclusiu del teorema de Cayley-Hamilton, calculeu la matriu inversa de:$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad (1 p)$$

Exercici 3 (3 punts). Descomposició en valors singulars (SVD) i compressió

La descomposició en valors singulars ( Singular Value Decomposition, SVD) s'empra freqüentment en tasques de compressió de dades contingudes en estructures matricials. Suposem que disposem d'una matriu $A$ de dimensions $5000 \times 2000$, on cadascuna de les seves entrades ocupa 8 bits (1 byte) de memòria.

a.

Calculeu el total de bytes necessaris per emmagatzemar la matriu $A$ sencera a la memòria de l'ordinador. (0,5 p)

b.

Per optimitzar l'espai, decidim comprimir la matriu $A$ mitjançant la SVD truncada. Trobeu el valor màxim de truncament $p$ (nombre de valors singulars retinguts) perquè l'ocupació en memòria sigui inferior a 1,4 milions de bytes (1,4 MB), considerant que es guarden les columnes i files associades de les matrius $U$ i $V^T$. (1 p)

c.

Considereu la matriu:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculeu la matriu $\Sigma$ de la seva descomposició en valors singulars $B = U\Sigma V^T$. (1,5 p)