Exercici 2 (a-d) - Diagonalització · Álgebra Lineal UB 2017

Tema: Diagonalització, Cayley-Hamilton i potències de matrius · Del examen Punt de Control 2 - Curs 2017/18 (2017)

Enunciado

Es considera l'aplicació lineal f:R3→R3f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 definida per l'expressió analítica:

f(x,y,z)=(3x−z, 5y, −2x+4z)f(x, y, z) = (3x - z,\ 5y,\ -2x + 4z)

a.

Determineu els valors propis d'aquest endomorfisme. [1 p]

b.

Trobeu per a quin valor del paràmetre aa el vector v⃗=(−1,2,a)\vec{v} = (-1, 2, a) és vector propi associat al valor propi λ=5\lambda = 5. [1 p]

c.

Calculeu els vectors propis associats a l'endomorfisme ff (bases dels subespais fonamentals). [1 p]

d.

Justifiqueu si ff és diagonalitzable o no. En cas afirmatiu, especifiqueu una matriu de pas PP i la matriu diagonal DD de manera que A=PDP−1A = PDP^{-1}, on AA és la matriu de ff en la base canònica. [1 p]

Enunciado: Exercici 2 (a-d) - Diagonalització · Álgebra Lineal UB 2017

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determineu els valors propis d'aquest endomorfisme.

Solución: λ1=5\lambda_1 = 5 (multiplicitat 2), λ2=2\lambda_2 = 2 (multiplicitat 1)

b. Trobeu per a quin valor del paràmetre aa el vector v⃗=(−1,2,a)\vec{v} = (-1, 2, a) és vector propi associat al valor propi λ=5\lambda = 5.

Solución: a=2a = 2

c. Calculeu els vectors propis associats a l'endomorfisme ff (bases dels subespais fonamentals).

Solución: Base de V5={(1,0,−2),(0,1,0)}V_5 = \{(1, 0, -2), (0, 1, 0)\}; Base de V2={(1,0,1)}V_2 = \{(1, 0, 1)\}

d. Justifiqueu si ff és diagonalitzable o no. En cas afirmatiu, especifiqueu una matriu de pas PP i la matriu diagonal DD de manera que A=PDP−1A = PDP^{-1}, on AA és la matriu de ff en la base canònica.

Solución: ff és diagonalitzable; P=(101010−201)P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}, D=(500050002)D = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 1 · 2017 · Exercici 2.e - Cayley-Hamilton · 2017 ›

Más ejercicios de Diagonalització, Cayley-Hamilton i potències de matrius