Exercici 3 · Álgebra Lineal UB 2017

Exercici 3 (3 punts). Descomposició en valors singulars (SVD) i compressió

La descomposició en valors singulars ( Singular Value Decomposition, SVD) s'empra freqüentment en tasques de compressió de dades contingudes en estructures matricials. Suposem que disposem d'una matriu $A$ de dimensions $5000 \times 2000$, on cadascuna de les seves entrades ocupa 8 bits (1 byte) de memòria.

a.

Calculeu el total de bytes necessaris per emmagatzemar la matriu $A$ sencera a la memòria de l'ordinador. (0,5 p)

b.

Per optimitzar l'espai, decidim comprimir la matriu $A$ mitjançant la SVD truncada. Trobeu el valor màxim de truncament $p$ (nombre de valors singulars retinguts) perquè l'ocupació en memòria sigui inferior a 1,4 milions de bytes (1,4 MB), considerant que es guarden les columnes i files associades de les matrius $U$ i $V^T$. (1 p)

c.

Considereu la matriu:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculeu la matriu $\Sigma$ de la seva descomposició en valors singulars $B = U\Sigma V^T$. (1,5 p)