Examen de Álgebra Lineal UB 2015 · Punt de Control 1 - Curs 2015/16

Exercici 1 (4 punts). Determinants i sistemes d'equacions lineals

a.

Demostreu, emprant exclusivament propietats del determinant (sense aplicar en cap pas la regla de Sarrus ni el desenvolupament per adjunts), que:$$\begin{vmatrix} 2 & 2x & -4 \ -2 & x & 1 \ 1 & -2x & 1 \end{vmatrix} = 0$$

Exercici 1 (4 punts). Determinants i sistemes d'equacions lineals

b.

Considereu el següent sistema d'equacions lineals depenent dels paràmetres reals $a$ i $b$:

$\begin{cases} x + ay + 2z = 1 \\ \phantom{x + {}} y - z = b \\ x + 3y \phantom

Exercici 2. Espai vectorial de matrius 2×2

Considerant l'espai vectorial de les matrius reals quadrades $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, responeu als següents apartats:

a)

Determineu quins valors han de prendre els paràmetres $a$ i $b$ per tal que el conjunt de tres matrius següent sigui linealment dependent:

$$\left\{\begin{pmatrix} 2 & a \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right\}$$

b)

Sigui el subconjunt $F = \left\{ A \in M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & K\cdot a \\ b & a+b \end{pmatrix}, \text{ amb } K \in \mathbb{R} \right\}$. Indiqueu per a quins valors de la constant $K$ aquest conjunt $F$ constitueix un subespai vectorial de $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$.

c)

Fixat $K = 0$, trobeu la dimensió del subespai $F$ i una base de $F$.

Exercici 2. Espai vectorial de matrius 2×2

Considerant l'espai vectorial de les matrius reals quadrades $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, responeu als següents apartats:

d)

Sigui ara el conjunt $S = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$, base d'un subespai de $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$. Comproveu si la matriu $M = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ pertany a $\langle S \rangle$. En cas afirmatiu, determineu les seves coordenades $M|_S$.

e)

Donada la base canònica modificada $B = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \right\}$ de $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, calculeu les components de la matriu $N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ en la base $B$ ($N|_B$) i respecte al sistema $S$ definit a l'apartat anterior ($N|_S$).

f)

Conegudes les coordenades $V|_S = (2, 0)$ en la base $S$ de l'apartat d), trobeu la matriu $V$.