Exercici 2.a-c - Espais vectorials i subespais · Álgebra Lineal UB 2015

Exercici 2. Espai vectorial de matrius 2×2

Considerant l'espai vectorial de les matrius reals quadrades $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, responeu als següents apartats:

a)

Determineu quins valors han de prendre els paràmetres $a$ i $b$ per tal que el conjunt de tres matrius següent sigui linealment dependent:

$$\left\{\begin{pmatrix} 2 & a \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right\}$$

b)

Sigui el subconjunt $F = \left\{ A \in M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & K\cdot a \\ b & a+b \end{pmatrix}, \text{ amb } K \in \mathbb{R} \right\}$. Indiqueu per a quins valors de la constant $K$ aquest conjunt $F$ constitueix un subespai vectorial de $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$.

c)

Fixat $K = 0$, trobeu la dimensió del subespai $F$ i una base de $F$.