Exercici 1.a - Determinants · Álgebra Lineal UB 2015

a. Demostreu, emprant exclusivament propietats del determinant (sense aplicar en cap pas la regla de Sarrus ni el desenvolupament per adjunts), que el determinant és 0.

Solución: Triangularitzem la matriu mitjançant combinacions lineals elementals de files: $$\begin{vmatrix} 2 & 2x & -4 \\ -2 & x & 1 \\ 1 & -2x & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow[f_3 \leftarrow 2f_3 - f_1]{f_2 \leftarrow f_2 + f_1} \begin{vmatrix} 2 & 2x & -4 \\ 0 & 3x & -3 \\ 0 & -6x & 6 \end{vmatrix} \xrightarrow{f_3 \leftarrow f_3 + 2f_2} \begin{vmatrix} 2 & 2x & -4 \\ 0 & 3x & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Com que una fila s'ha anul·lat completament (la matriu és triangular superior amb un zero a la diagonal), el valor del determinant és immediatament $2 \cdot 3x \cdot 0 = 0$.