Examen de Álgebra Lineal UB 2015 · final - Gener 2015

Considera les bases següents de l'espai vectorial $P_2(x)$:

$$B_1 = \{x^2, 1, x\}$$

$$B_2 = \{1 + x, 2, x + x^2\}$$

$$B_3 = \{\vec{x}_1, \vec{x}_2, \vec{x}_3\}$$

a.

Calcula la matriu de canvi de base de $B_1$ a $B_2$. [1 punt]

b.

Si la matriu de canvi de base de $B_3$ a $B_1$ és:$$C_{B_3 B_1} = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 0 \\ -1 & c & -1 \end{pmatrix}$$calcula els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ sabent que el vector $\vec{x}_2$ de la base $B_3$ és $\vec{x}_2 = -2x^2 + 1$. [1 punt]

Considera les bases següents de l'espai vectorial $P_2(x)$:

$$B_1 = \{x^2, 1, x\}$$

$$B_2 = \{1 + x, 2, x + x^2\}$$

$$B_3 = \{\vec{x}_1, \vec{x}_2, \vec{x}_3\}$$

c.

Considera una aplicació lineal genèrica $f: E \to F$. Demostra que el seu nucli ($\ker f$) és un subespai vectorial d'E. [1 punt]

d.

Particularitzem l'aplicació lineal anterior com a:$$\begin{aligned} f: \mathbb{R}^3 &\longrightarrow P_1(x) \\ (a, b, c) &\longmapsto (a - b) + (c - b)x \end{aligned}$$Troba una base i determina la dimensió de $\operatorname{Im} f$. [1 punt]

Problema 2. Aplicacions lineals, matriu associada i composició

Es considera l'aplicació lineal $f: M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_1(x)$ de la qual es coneixen les imatges següents:$$f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = 1, \quad f\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = 3, \quad f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = 1 + x, \quad f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = 2 - x$$

Fixades les bases:$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \subset M_{2\times 2}(\mathbb{R}), \quad B_2 = \{1, 1 + x\} \subset P_1(x)$$

Es defineix ara una aplicació lineal $g: P_1(x) \rightarrow \mathbb{R}^2$ que té per matriu associada respecte a la base $B_2$ d'origen i la canònica $C$ de destí:$$G_{B_2 C} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Troba la imatge de la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. No expressis el resultat en components respecte a cap base. [1 punt]

b)

Determina la matriu associada a l'aplicació $f$ prenent $B_1$ com a base de partida i $B_2$ com a base d'arribada, $F_{B_1 B_2}$. [1 punt]

c)

Calcula novament el que es demana a l'apartat a), però fent servir ara la matriu obtinguda a l'apartat b). [1 punt]

2.c)

Calcula la matriu associada a la composició $h(\vec{x}) = (g \circ f)(\vec{x})$ en base $B_1$ d'origen i base $B_3 = \{(0,1), (1,0)\}$ de destí a $\mathbb{R}^2$, $H_{B_1 B_3}$. [1,25 punts]

Problema 2. Aplicacions lineals, matriu associada i composició

Es considera l'aplicació lineal $f: M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_1(x)$ de la qual es coneixen les imatges següents:$$f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) = 1, \quad f\left(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = 3, \quad f\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right) = 1 + x, \quad f\left(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = 2 - x$$

Fixades les bases:$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \subset M_{2\times 2}(\mathbb{R}), \quad B_2 = \{1, 1 + x\} \subset P_1(x)$$

Es defineix ara una aplicació lineal $g: P_1(x) \rightarrow \mathbb{R}^2$ que té per matriu associada respecte a la base $B_2$ d'origen i la canònica $C$ de destí:$$G_{B_2 C} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Troba una base i la dimensió del nucli de $g$. Els vectors de la base no han d'estar expressats en components. [1 punt]

b)

És $g$ una aplicació injectiva? I exhaustiva? I bijectiva? Justifica la resposta. [0,75 punts]

Injectiva:

Exhaustiva:

Bijectiva: