Exercici 2.d-f - Coordenades i bases · Álgebra Lineal UB 2015

Exercici 2. Espai vectorial de matrius 2×2

Considerant l'espai vectorial de les matrius reals quadrades $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, responeu als següents apartats:

d)

Sigui ara el conjunt $S = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$, base d'un subespai de $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$. Comproveu si la matriu $M = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ pertany a $\langle S \rangle$. En cas afirmatiu, determineu les seves coordenades $M|_S$.

e)

Donada la base canònica modificada $B = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \right\}$ de $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$, calculeu les components de la matriu $N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ en la base $B$ ($N|_B$) i respecte al sistema $S$ definit a l'apartat anterior ($N|_S$).

f)

Conegudes les coordenades $V|_S = (2, 0)$ en la base $S$ de l'apartat d), trobeu la matriu $V$.